Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 5 3 3 8 4 3 2 5 3 4 5 6 5 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Eine Cauchy-Folge in .
  3. Die Supremumsnorm einer Funktion

    auf einer Menge .

  4. Der natürliche Logarithmus
  5. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
  6. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  7. Die Lösung eines Anfangswertproblems

    zu einer Funktion

  8. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.


Lösung

  1. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  2. Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Man nennt

    die Supremumsnorm von .

  4. Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

  5. Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung

    die jedem Punkt die Ableitung von an der Stelle zuordnet.

  6. Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu über heißt bestimmtes Integral.
  7. Man nennt eine Funktion

    auf einem Intervall eine Lösung des Anfangswertproblems

    wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

    gilt.

  8. Eine Differentialgleichung der Form

    mit Funktionen (dabei sind und [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|opt=Siehe}}|opt=Ziel}}|]])

    und

    heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper .
  2. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  3. Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
  4. Riemann Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Name


Lösung

  1. Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
  2. Ein von verschiedenes Polynom vom Grad besitzt maximal Nullstellen.
  3. Es sei ein Intervall und

    eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|stetige]], [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|streng wachsende]] Funktion. Dann ist das Bild ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

    ist ebenfalls stetig.
  4. Riemann Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Lösung

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für ist

was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für jeweils die Identität, also die Abbildung . Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren . Daher ist in diesem Beispiel die Funktion

gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion

hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper.

Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass
gilt.


Lösung

Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten

Aufgrund der Körperaxiome ist . Wir müssen also nur noch die Möglichkeit zum Widerspruch führen. Nehmen wir an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig addieren und erhält
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

also ist zugleich , ein Widerspruch.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Summe


Lösung

Mit der Formel für die geometrische Reihe ist

Ferner ist

Also ist insgesamt


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion


Lösung

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild ein Intervall ist.

Wir zeigen zunächst, dass (nach oben und nach unten) beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge in mit . Nach Satz 7.7 besitzt eine konvergente Teilfolge. Da abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu . Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, so dass sie nach Fakt ***** nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Sei nun das Supremum von . Es gibt eine Folge in , die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von gibt es eine Folge mit . Für diese Folge gibt es wieder nach Satz 7.7 eine konvergente Teilfolge. Es sei der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit und daher .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.


Lösung

Die geometrische Reihe ist und die Exponentialreihe ist . Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen etc. ignoriert werden und es ist

Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

mit Hilfe von


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Wir verwenden die Darstellung . Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten eine Funktion der Form

wobei und lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen () die Beziehung

gilt.


Lösung

Zum Induktionsanfang betrachten wir , es geht also um die Funktion selbst. Wegen

ist die Formel für gerade richtig.

Wir beweisen nun nun die Formel für unter der Induktionsvoraussetzung, dass sie für alle kleinere Zahlen richtig ist. Sei zunächst ungerade, also gerade. Dann ist (unter Verwendung der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen von und gleich sind)

so dass der Ausdruck für ungerade vorliegt.

Bei gerade, also ungerade, ist

so dass der Ausdruck für gerade vorliegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion streng wachsend ist.


Lösung

Die Ableitung von ist
Wegen
ist , und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form () den Wert besitzt, besitzt nur dort eine Nullstelle. Nach Satz 19.5  (2) (angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall) ist die Funktion streng wachsend.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion


Lösung

Die erste Ableitung ist

deren Nullstellen sind und . Die zweite Ableitung ist

so dass und ist. Daher liegt in ein (isoliertes) lokales Minimum mit dem Wert und in ein (isoliertes) lokales Maximum mit dem Wert vor. Da für sowohl als auch positiv sind, liegt in auch das globale Minimum vor. Für wächst die Funktion hingegen gegen , sodass in kein globales Maximum vorliegt.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass für jedes die Abschätzung

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion auf dem Intervall .


Lösung

Die Stammfunktion von ist . Daher ist . Die äquidistante Unterteilung von in Teilintervalle führt zu den Teilungspunkten

Da streng fallend ist, ist die Treppenfunktion, die auf dem Intervall den Wert

annimmt, eine untere Treppenfunktion zu . Das Treppenintegral zu dieser Treppenfunktion ist

und dies ist maximal gleich dem bestimmten Integral.


Aufgabe (6 (5+1) Punkte)

Es sei

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von .

b) Bestimme eine Stammfunktion von .


Lösung

a) Division mit Rest ergibt

Daher ist

Wegen machen wir den Ansatz

Dies führt auf

Somit ist und , woraus sich und ergibt. Also ist

Somit ist die Partialbruchzerlegung gleich

b) Eine Stammfunktion zu ist (auf dem Definitionsbereich)


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems


Lösung

a) Wir setzen und . Eine Stammfunktion von ist und eine Stammfunktion von ist

Die Umkehrfunktion von ist

Daher ist

eine Lösung der Differentialgleichung.

b) Wir machen den Ansatz mit der Umkehrfunktion

was zur Lösung(sschar)

führt. Aus

folgt

Also ist

die Lösung des Anfangswertproblems.

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