Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/10/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 5 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 8 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

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\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}

}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} in $\R$.

}{Die \stichwort {Supremumsnorm} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} auf einer Menge $T$.

}{Der \stichwort {natürliche Logarithmus} {} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}

}{Die \stichwort {Ableitungsfunktion} {} zu einer differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.}

}{Das \stichwort {bestimmte Integral} {} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}

}{Die \stichwort {Lösung eines Anfangswertproblems} {}
\mathdisp {y'=f(t,y) \text{ und } y(t_0)=y_0} { , }
zu einer Funktion \maabbdisp {f} {\R^2} {\R } {.}

}{Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit \stichwort {getrennten Variablen} {.} }

}
{

\aufzaehlungacht{Die Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {} ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
\mathl{x,y \in L}{} auch
\mathl{f(x)}{} und
\mathl{f(y)}{} verschieden sind. }{Eine reelle Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in \R} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n,m \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \defeq} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T ) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Supremumsnorm von $f$. }{Der natürliche Logarithmus \maabbeledisp {\ln} {\R_+ } {\R } {x} { \ln x } {,} ist als die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der \definitionsverweis {reellen Exponentialfunktion}{}{} definiert. }{Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung \maabbeledisp {f'} {\R} {\R } {x} {f'(x) } {,} die jedem Punkt
\mathl{x \in \R}{} die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zuordnet. }{Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über
\mathl{[a,b]}{} heißt bestimmtes Integral. }{Man nennt eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {y} {I} {\R } {t} {y(t) } {,} auf einem \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{I\subseteq \R}{} eine Lösung des Anfangswertproblems
\mathdisp {y'=f(t,y) \text{ und } y(t_0)=y_0} { , }
wenn $y$ eine \definitionsverweis {Lösung der Differentialgleichung}{}{} ist und wenn zusätzlich
\mathdisp {y(t_0)=y_0} { }
gilt. }{Eine Differentialgleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { g(t) \cdot h(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Funktionen \zusatzklammer {dabei sind \mathkor {} {I} {und} {J} {} reelle Intervalle} {} {} \maabbeledisp {g} {I} {\R } {t} {g(t) } {,} und \maabbeledisp {h} {J} {\R } {y} {h(y) } {,} heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen. }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Der \stichwort {Satz über die Eindeutigkeit des Limes} {} in einem angeordneten Körper $K$.}{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Der \stichwort {Satz über die stetige Umkehrfunktion} {.}}{Riemann Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Name}

}
{

\aufzaehlungvier{Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.}{Ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.}{Es sei
\mathl{I \subseteq \R}{} ein Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild
\mathl{J \defeq f(I)}{} ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung \maabbdisp {f^{-1}} {J} {I } {} ist ebenfalls stetig.}{Riemann Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+3)}
{

Es seien \maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R } {} Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f }
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f }
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gelten muss.

}
{

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für
\mathl{x \in \R}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \left( h \cdot g \right) } \circ f \right) } (x) }
{ =} { { \left( h \cdot g \right) } { \left( f (x) \right) } }
{ =} { h(f(x)) \cdot g(f(x)) }
{ =} { { \left( h \circ f \right) } (x) \cdot { \left( g \circ f \right) } (x) }
{ =} { { \left( { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } \right) } (x) }
} {} {}{,} was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für
\mathl{f,g,h}{} jeweils die Identität, also die Abbildung
\mathl{x \mapsto x}{.} Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren
\mathl{x \mapsto x^2}{.} Daher ist in diesem Beispiel die Funktion
\mathdisp {{ \left( h \circ g \right) } \cdot f} { }
gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion
\mathdisp {{ \left( h\cdot f \right) } \circ { \left( g\cdot f \right) }} { }
hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung
\mathl{x \mapsto { \left( x^2 \right) }^2 =x^4}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{

Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten
\mathdisp {1>0 \text{ oder } 1 = 0 \text{ oder } 1 < 0} { . }
Aufgrund der Körperaxiome ist
\mathl{1 \neq 0}{.} Wir müssen also nur noch die Möglichkeit
\mathl{1< 0}{} zum Widerspruch führen. Nehmen wir
\mathl{1< 0}{} an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig $-1$ addieren und erhält
\mathdisp {0 < -1} { . }
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ <} {(-1)(-1) }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} also ist zugleich $1>0$, ein Widerspruch.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Berechne die Summe
\mathdisp {\sum_{n= 3}^ \infty { \left({ \frac{ 2 }{ 5 } }\right) }^n} { . }

}
{

Mit der Formel für die geometrische Reihe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^ \infty { \left({ \frac{ 2 }{ 5 } }\right) }^n }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1- { \frac{ 2 }{ 5 } } } } }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 5-2 } } }
{ =} {{ \frac{ 5 }{ 3 } } }
{ } { }
} {}{}{.} Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^2 { \left({ \frac{ 2 }{ 5 } }\right) }^n }
{ =} {1 + { \frac{ 2 }{ 5 } } + { \left({ \frac{ 2 }{ 5 } }\right) }^2 }
{ =} { { \frac{ 25+10+4 }{ 25 } } }
{ =} { { \frac{ 39 }{ 25 } } }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 3}^ \infty { \left({ \frac{ 2 }{ 5 } }\right) }^n }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 3 } } - { \frac{ 39 }{ 25 } } }
{ =} {{ \frac{ 125- 117 }{ 75 } } }
{ =} {{ \frac{ 8 }{ 75 } } }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}

}
{

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild
\mathl{J \defeq f([a,b])}{} ein Intervall ist.

Wir zeigen zunächst, dass $J$ \zusatzklammer {nach oben und nach unten} {} {} beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass $J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $I$ mit
\mathl{f(x_n) \geq n}{.} Nach Satz 7.7 besitzt
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Teilfolge. Da
\mathl{[a,b]}{} abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu
\mathl{[a,b]}{.} Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, so dass sie nach Fakt ***** nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Sei nun $y$ das Supremum von $J$. Es gibt eine Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} in $J$, die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von $J$ gibt es eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} mit
\mathl{f(x_n)=y_n}{.} Für diese Folge gibt es wieder nach Satz 7.7 eine konvergente Teilfolge. Es sei $x$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit
\mathl{f(x)=y}{} und daher
\mathl{y \in J}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

}
{

Die geometrische Reihe ist
\mathl{\sum_{n=0}^\infty x^n}{} und die Exponentialreihe ist
\mathl{\sum_{n=0}^\infty { \frac{ 1 }{ n! } } x^n}{.} Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen
\mathl{x^5,x^6,}{} etc. ignoriert werden und es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ }
{ \,} { (1+x+x^2+x^3+x^4) { \left(1+x + { \frac{ 1 }{ 2 } }x^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } }x^3 + { \frac{ 1 }{ 24 } }x^4\right) } }
{ =} {{ \left(1+x + { \frac{ 1 }{ 2 } }x^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } }x^3 + { \frac{ 1 }{ 24 } } x^4\right) } + { \left(x + x^2+{ \frac{ 1 }{ 2 } }x^3 + { \frac{ 1 }{ 6 } }x^4\right) } + { \left(x^2 + x^3+{ \frac{ 1 }{ 2 } }x^4\right) } + x^3+x^4 +x^4 + \ldots }
{ =} { 1 +2x + { \frac{ 5 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 8 }{ 3 } } x^3 + { \frac{ 65 }{ 24 } } x^4 + \ldots }
{ } { }
} {} {}{.} Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also
\mathdisp {1 +2x + \frac{ 5 }{ 2 } x^2 + \frac{ 8 }{ 3 } x^3 + \frac{ 65 }{ 24 } x^4} { . }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^2 \right) }' }
{ =} { 2 f \cdot f' }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( (f+g)^2- (f-g)^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( fg \right) }' }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( (f+g)^2 - (f-g)^2 \right) }' }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( 2 (f+g) (f+g)' - 2 (f-g) (f-g)' \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( (f+g) (f'+g') - (f-g) (f'-g') \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( ff'+fg'+gf'+gg'-ff'+fg'+gf'-gg' \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 2gf'+2fg' \right) } }
{ =} {gf'+fg' }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = { \frac{ \ln { \left(2x^2\right) } }{ 7^x } } } {.}

}
{

Wir verwenden die Darstellung
\mathl{7^x= e^{ x \ln (7) }}{.} Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f' (x) }
{ =} { { \left({ \frac{ \ln (2x^2) }{ e^{ x \ln (7) } } }\right) }^\prime }
{ =} { { \frac{ e^{ x \ln (7) } { \frac{ 1 }{ 2x^2 } } 4x - \ln (2x^2) \ln (7) e^{ x \ln (7) } }{ ( e^{x \ln (7) } )^2 } } }
{ =} { { \frac{ 2 x^{-1} - \ln (2x^2) \ln (7) }{ e^{ x \ln (7) } } } }
{ =} { { \frac{ 2 - x \ln (2x^2) \ln (7) }{ x 7^x } } }
} {} {}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Wir betrachten eine Funktion \maabb {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { g(x) \sin x + h(x) \cos x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei \mathkor {} {g} {und} {h} {} lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen \zusatzklammer {\mathlk{n \geq 0}{}} {} {} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x) }
{ =} {\begin{cases} (-1)^{n/2} { \left( { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \sin x + { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) } \text{ für } \ n \text{ gerade}, \\ (-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left( ng'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x \right) } \text{ für } \ n \text{ ungerade}, \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{

Zum Induktionsanfang betrachten wir
\mathl{n=0}{,} es geht also um die Funktion selbst. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { g(x) \sin x +h(x) \cos x }
{ =} { (-1)^0 { \left( { \left( g(x) +0 h'(x) \right) } \sin x + { \left(-0 g'(x) + h(x) \right) } \cos x \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist die Formel für
\mathl{n=0}{} gerade richtig.

Wir beweisen nun nun die Formel für $n+1$ unter der Induktionsvoraussetzung, dass sie für alle kleinere Zahlen richtig ist. Sei zunächst $n+1$ ungerade, also $n$ gerade. Dann ist \zusatzklammer {unter Verwendung der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen von $g$ und $h$ gleich $0$ sind} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{(n+1)}(x) }
{ =} { { \left( f^{(n)} \right) }' (x) }
{ =} {(-1)^{n/2} { \left( { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \sin x + { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \cos x \right) }' }
{ =} {(-1)^{n/2} { \left( g'(x) \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x + h'(x) \cos x- { \left( -n g'(x)+ h(x) \right) } \sin x \right) } }
{ =} {(-1)^{n/2} { \left( { \left( g'(x) +n g'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x)+ h'(x)\right) } \cos x \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {(-1)^{ ((n+1)-1)/2} { \left( { \left( (n+1) g'(x)- h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+(n+1) h'(x)\right) } \cos x \right) } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{,} so dass der Ausdruck für $n+1$ ungerade vorliegt.

Bei $n+1$ gerade, also $n$ ungerade, ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{(n+1)}(x) }
{ =} { { \left( f^{(n)} \right) }' (x) }
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left(n g'(x) - h(x) \right) } \sin x + { \left( g(x)+n h'(x) \right) } \cos x \right) }' }
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} { \left( -h'(x) \sin x + { \left( ng'(x) - h(x) \right) } \cos x + g'(x) \cos x- { \left( g(x)+ nh'(x) \right) } \sin x \right) } }
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} { \left( { \left( -g(x) -(n+1) h'(x) \right) } \sin x + { \left( (n+1) g'(x)- h(x)\right) } \cos x \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {(-1)^{(n-1)/2} (-1) { \left( { \left( g(x) +(n+1) h'(x) \right) } \sin x + { \left( -(n+1) g'(x)+ h(x)\right) } \cos x \right) } }
{ =} {(-1)^{(n+1)/2} { \left( { \left( g(x) +(n+1) h'(x) \right) } \sin x + { \left( -(n+1) g'(x)+ h(x)\right) } \cos x \right) } }
{ } {}
{ } {}
} {}{,} so dass der Ausdruck für $n+1$ gerade vorliegt.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Zeige, dass die Funktion
\mathl{f(x)=x+ \sin x}{} streng wachsend ist.

}
{

Die Ableitung von $f$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} {1+ \cos x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1 }
{ \leq} { \cos x }
{ \leq} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mathl{f'(x) \geq 0}{,} und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form
\mathl{\pi + n 2 \pi}{} \zusatzklammer {\mathlk{n \in \Z}{}} {} {} den Wert $-1$ besitzt, besitzt $f'$ nur dort eine Nullstelle. Nach Satz 19.5  (2) \zusatzklammer {angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall} {} {} ist die Funktion streng wachsend.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) = t^2e^{-t} } {.}

}
{

Die erste Ableitung ist
\mathdisp {f^\prime(t) = { \left(2t-t^2\right) } e^{-t} = t { \left(2-t\right) } e^{-t}} { , }
deren Nullstellen sind \mathkor {} {0} {und} {2} {.} Die zweite Ableitung ist
\mathdisp {f^{\prime \prime}(t) = { \left( t^2 -4t+2 \right) } e^{-t}} { , }
so dass
\mathl{f^{\prime \prime}(0) >0}{} und
\mathl{f^{\prime \prime}(2) < 0}{} ist. Daher liegt in
\mathl{0}{} ein \zusatzklammer {isoliertes} {} {} lokales Minimum mit dem Wert $f(0)=0$ und in $2$ ein \zusatzklammer {isoliertes} {} {} lokales Maximum mit dem Wert
\mathl{4 \cdot e^{-2}}{} vor. Da für
\mathl{t \neq 0}{} sowohl $t^2$ als auch $e^{-t}$ positiv sind, liegt in $0$ auch das globale Minimum vor. Für
\mathl{t \rightarrow - \infty}{} wächst die Funktion hingegen gegen
\mathl{+ \infty}{,} sodass in $2$ kein globales Maximum vorliegt.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n+1 } } + { \frac{ 1 }{ n+2 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 2n } } }
{ \leq} { \ln 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Tipp: Betrachte die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem Intervall
\mathl{[1,2]}{.}

}
{

Die Stammfunktion von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathl{\ln x}{.} Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_1^2 { \frac{ 1 }{ x } } dx }
{ = }{ \ln 2 - \ln 1 }
{ = }{ \ln 2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die äquidistante Unterteilung von
\mathl{[1,2]}{} in $n$ Teilintervalle führt zu den
\mathl{n+1}{} Teilungspunkten
\mathbeddisp {1+ { \frac{ i }{ n } }} {}
{i=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.} Da
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x } }}{} streng fallend ist, ist die Treppenfunktion, die auf dem Intervall
\mathl{]1+ { \frac{ i-1 }{ n } } , 1+ { \frac{ i }{ n } } [}{} den Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( 1+ { \frac{ i }{ n } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+ { \frac{ i }{ n } } } } }
{ =} { { \frac{ n }{ n+ i } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} annimmt, eine untere Treppenfunktion zu $f$. Das Treppenintegral zu dieser Treppenfunktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n } } { \left( \sum_{i= 1}^n { \frac{ n }{ n+ i } } \right) } }
{ =} { \sum_{i= 1}^n { \frac{ 1 }{ n+ i } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n+ 1 } } + { \frac{ 1 }{ n+ 2 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 2n } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und dies ist maximal gleich dem bestimmten Integral.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (5+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { { \frac{ x^3+7x^2-5x+4 }{ x^2-3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Bestimme die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathl{f(x)}{.}

b) Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathl{f(x)}{.}

}
{

a) Division mit Rest ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3+7x^2-5x+4 }
{ =} {(x^2-3) (x+7) -2x+25 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^3+7x^2-5x+4 }{ x^2-3 } } }
{ =} {x+7 + { \frac{ -2x+25 }{ x^2-3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2-3 }
{ = }{(x- \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} machen wir den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ -2x+25 }{ x^2-3 } } }
{ =} {{ \frac{ a }{ x- \sqrt{3 } }} + { \frac{ b }{ x + \sqrt{3 } }} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies führt auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ -2x+25 }
{ =} { a (x+ \sqrt{3}) + b (x- \sqrt{3}) }
{ =} { (a+b)x +(a-b) \sqrt{3} }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Somit ist
\mathl{a+b=-2}{} und
\mathl{a-b= { \frac{ 25 }{ \sqrt{3 } }}}{,} woraus sich
\mathl{2a = -2 +{ \frac{ 25 }{ \sqrt{3 } }}}{} und
\mathl{2b= -2 -{ \frac{ 25 }{ \sqrt{3 } }}}{} ergibt. Also ist
\mathdisp {a= -1 +{ \frac{ 25 }{ 2\sqrt{3 } }} \text{ und } b = -1 -{ \frac{ 25 }{ 2\sqrt{3 } }}} { . }
Somit ist die Partialbruchzerlegung gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^3+7x^2-5x+4 }{ x^2-3 } } }
{ =} { x+7 + { \frac{ -1 +{ \frac{ 25 }{ 2\sqrt{3 } }} }{ x- \sqrt{3 } }} + { \frac{ -1 -{ \frac{ 25 }{ 2\sqrt{3 } }} }{ x + \sqrt{3 } }} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Eine Stammfunktion zu
\mathl{f(x)}{} ist \zusatzklammer {auf dem Definitionsbereich} {} {}
\mathdisp {F(x)= { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 +7x + { \left(-1 +{ \frac{ 25 }{ 2\sqrt{3 } }}\right) } \ln \betrag { x- \sqrt{3} } + { \left(-1-{ \frac{ 25 }{ 2\sqrt{3 } }}\right) } \ln \betrag { x + \sqrt{3} }} { . }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5 (2+3)}
{

a) Bestimme eine Lösung der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^2 }{ y } }, \, y > 0, \, t> 0} { , }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des \definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^2 }{ y } } \text{ mit } y(4)=5} { . }

}
{

a) Wir setzen
\mathl{g(t)=t^2}{} und
\mathl{h(y)= { \frac{ 1 }{ y } }}{.} Eine Stammfunktion von
\mathl{g(t)}{} ist
\mathl{G(t)={ \frac{ 1 }{ 3 } } t^3}{} und eine Stammfunktion von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ h(y) } } =y}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H(y) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Umkehrfunktion von $H$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^{-1} (z) }
{ =} { \sqrt{2} \sqrt{z} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t) }
{ =} {\sqrt{2} \cdot \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } t^3 } }
{ =} { \sqrt{ { \frac{ 2 }{ 3 } } } \cdot t ^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Lösung der Differentialgleichung.

b) Wir machen den Ansatz
\mathl{H(y)= { \frac{ 1 }{ 2 } } y^2 +c}{} mit der Umkehrfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^{-1} (z) }
{ =} {\sqrt{ 2z-2c } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was zur Lösung\zusatzklammer {sschar} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t) }
{ =} { \sqrt{ { \frac{ 2 }{ 3 } } t^3 - 2c } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt. Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5 }
{ =} {y(4) }
{ =} { \sqrt{ { \frac{ 2 }{ 3 } } 4^3 - 2c } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{c }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } 4^3 -25 \right) } }
{ =} { { \frac{ 128 -75 }{ 6 } } }
{ =} { { \frac{ 53 }{ 6 } } }
{ } { }
} {} {}{} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t) }
{ =} { \sqrt{ { \frac{ 2 }{ 3 } } t^3 - { \frac{ 53 }{ 3 } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Lösung des Anfangswertproblems.

}

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