Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	4	4	3	3	4	2	7	5	5	4	6	4	3	5	5	64

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein angeordneter Körper.
2. Eine Folge in einer Menge ${}M$.
3. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Die komplexe Konjugation.
5. Ein Berührpunkt einer Menge ${}T\subseteq \mathbb {K}$.
6. Eine ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
7. Eine Treppenfunktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

8. Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${}K$.
2. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
3. Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
4. Die „Periodizitätseigenschaft“ für Kosinus und Sinus bei Addition mit ${}{\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.

${}\vert {2x-5}\vert <\vert {3x-4}\vert \,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl mit ${}b<0$. Zeige, dass

${}v={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$

eine Quadratwurzel von ${}z$ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion und

$g\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Q}$

eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge ${}f(g(n)),\,n\in \mathbb {N}$, konvergiert. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+\sin x,$

genau zwei Nullstellen besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

$g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} \setminus \{0\}$

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

${}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei

$f\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto f(z),$

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in \mathbb {C}$ gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung ${}f'(\zeta z)=\zeta ^{n-1}f'(z)$ erfüllt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass die beiden Definitionen für die Zahl ${}e$ übereinstimmen, beweise also die Gleichheit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}2$ der Funktion

$f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto f(z)={\frac {z^{2}-z+3}{z}},$

im Entwicklungspunkt ${}i$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu ${}f(x)=x^{2}$ und ${}g(x)={\sqrt {x}}$ eingeschlossen wird.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

${\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}$

für ${}x>2$.

Aufgabe * (5 (4+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t$

für ${}t\in {]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}$.

b) Löse das Anfangswertproblem

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t{\text{ mit }}y(0)=7.$

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