Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	4	4	3	3	4	2	7	5	5	4	6	4	3	5	5	64

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Ein angeordneter Körper.
Eine Folge in einer Menge ${}M$ .
Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Die komplexe Konjugation.
Ein Berührpunkt einer Menge ${}T\subseteq \mathbb {K}$ .
Eine ${}n$ -te komplexe Einheitswurzel ( $n\in \mathbb {N} _{+}$ ).
Eine Treppenfunktion
$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ .
Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${}K$ .
Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
Die „Periodizitätseigenschaft“ für Kosinus und Sinus bei Addition mit ${}{\frac {\pi }{2}}$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.

{}\vert {2x-5}\vert <\vert {3x-4}\vert \,.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl mit ${}b<0$ . Zeige, dass

{}v={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,

eine Quadratwurzel von ${}z$ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion und

g\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Q}

eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge ${}f(g(n)),\,n\in \mathbb {N}$ , konvergiert. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+\sin x,

genau zwei Nullstellen besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} \setminus \{0\}

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

{}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta$ eine ${}n$ -te komplexe Einheitswurzel. Es sei

f\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto f(z),

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in \mathbb {C}$ gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung ${}f'(\zeta z)=\zeta ^{n-1}f'(z)$ erfüllt.