Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/11/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 3 3 4 2 7 5 5 4 6 4 3 5 5 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Eine Folge in einer Menge .
  3. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  4. Die komplexe Konjugation.
  5. Ein Berührpunkt einer Menge .
  6. Eine -te komplexe Einheitswurzel ().
  7. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  8. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper .
  2. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  3. Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
  4. Die „Periodizitätseigenschaft“ für Kosinus und Sinus bei Addition mit .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass

eine Quadratwurzel von ist.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion und

eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge , konvergiert. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

genau zwei Nullstellen besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über die Beziehung


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei und sei eine -te komplexe Einheitswurzel. Es sei

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung erfüllt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass die beiden Definitionen für die Zahl übereinstimmen, beweise also die Gleichheit


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu und eingeschlossen wird.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

für .


Aufgabe * (5 (4+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

für .

b) Löse das Anfangswertproblem

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