Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/11/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | 7 | 5 | 5 | 4 | 6 | 4 | 3 | 5 | 5 | 64 |
Aufgabe * (4 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein angeordneter Körper.
- Eine Folge in einer Menge .
- Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
- Die komplexe Konjugation.
- Ein Berührpunkt einer Menge .
- Eine -te komplexe Einheitswurzel ().
- Eine
Treppenfunktion
auf einem beschränkten reellen Intervall .
- Die
Integralfunktion
zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
auf einem reellen Intervall .
Aufgabe * (4 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper .
- Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
- Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
- Die „Periodizitätseigenschaft“ für Kosinus und Sinus bei Addition mit .
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass
eine Quadratwurzel von ist.
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei
eine stetige Funktion und
eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge , konvergiert. Zeige, dass konstant ist.
Aufgabe * (5 Punkte)
Zeige, dass die Funktion
genau zwei Nullstellen besitzt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei und sei eine -te komplexe Einheitswurzel. Es sei
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung erfüllt.
Aufgabe * (6 Punkte)
Zeige, dass die beiden Definitionen für die Zahl übereinstimmen, beweise also die Gleichheit
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion
im Entwicklungspunkt .
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu und eingeschlossen wird.
Aufgabe * (5 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion von
für .
Aufgabe * (5 (4+1) Punkte)
a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
b) Löse das Anfangswertproblem