Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/11/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 7 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 6 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Ein \stichwort {angeordneter} {} Körper.

}{Eine \stichwort {Folge} {} in einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {Intervallschachtelung} {} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}

}{Ein \stichwort {Berührpunkt} {} einer Menge
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{.}

}{Eine $n$-te \stichwort {komplexe Einheitswurzel} {} \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {.}

}{Eine \stichwort {Treppenfunktion} {} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}

}{Die \stichwort {Integralfunktion} {} zum Startpunkt
\mathl{a \in I}{} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {} für einen angeordneten Körper $K$.}{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für reelle Folgen.}{Der \stichwort {Entwicklungssatz für Potenzreihen} {} \zusatzklammer {die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden} {} {.}}{Die \anfuehrung{\stichwort {Periodizitätseigenschaft} {}}{} für Kosinus und Sinus bei Addition mit
\mathl{{ \frac{ \pi }{ 2 } }}{.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die reellen \definitionsverweis {Intervalle}{}{,} die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 2x-5 } }
{ <} { \betrag { 3x-4 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $z=a+b { \mathrm i}$ eine komplexe Zahl mit $b <0$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} { \frac{1}{ \sqrt{2} } { \left( - \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }-a } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Quadratwurzel von $z$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine stetige Funktion und \maabbdisp {g} {\N} {\Q } {} eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge
\mathl{f(g(n)),\, n \in \N}{,} konvergiert. Zeige, dass $f$ konstant ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2 + \sin x } {,} genau zwei Nullstellen besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es seien \maabbdisp {g_1,g_2 , \ldots , g_n} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \right) }^\prime }
{ =} { { \frac{ - 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \left( { \frac{ g_1' }{ g_1 } } + { \frac{ g_2' }{ g_2 } } + \cdots + { \frac{ g_n' }{ g_n } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $n \in \N_+$ und sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {f(z) } {,} eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit
\mathl{f( \zeta z) =f( z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung
\mathl{f'(\zeta z) = \zeta^{n-1} f' ( z)}{} erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Zeige, dass die beiden Definitionen für die Zahl $e$ übereinstimmen, beweise also die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }^n }
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $2$ der Funktion \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} { {\mathbb C} } {z} { f(z) = { \frac{ z^2 -z +3 }{ z } } } {,} im Entwicklungspunkt ${ \mathrm i}$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x) }
{ = }{ \sqrt{x} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eingeschlossen wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ x^2+1 }{ x(x-1)(x-2) } }} { }
für
\mathl{x >2}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (4+1)}
{

a) Finde alle \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + (t^2-3) \cos t} { }
für
\mathl{t \in {]{- { \frac{ \pi }{ 2 } }} , { \frac{ \pi }{ 2 } } [}}{.}

b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + ( t^2-3 ) \cos t \text{ mit } y(0)=7} { . }

}
{} {}

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