Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/11/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 3 3 4 2 7 5 5 4 6 4 3 5 5 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Eine Folge in einer Menge .
  3. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  4. Die komplexe Konjugation.
  5. Ein Berührpunkt einer Menge .
  6. Eine -te komplexe Einheitswurzel ().
  7. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  8. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Lösung

  1. Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung“ auf gibt, die die beiden Eigenschaften
    1. Aus folgt (für beliebige )
    2. Aus und folgt (für beliebige )

    erfüllt.

  2. Eine Folge in ist eine Abbildung
  3. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.

  4. Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.

  5. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.
  6. Die komplexen Nullstellen des Polynoms

    heißen -te komplexe Einheitswurzeln.

  7. Eine Funktion

    heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.

  8. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper .
  2. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  3. Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
  4. Die „Periodizitätseigenschaft“ für Kosinus und Sinus bei Addition mit .


Lösung

  1. Für und ist
  2. Es seien und [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reelle Folgen]]. Es gelte

    und und

    konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
  3. Es sei

    eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|konvergente]] Potenzreihe mit dem Konvergenzradius und sei . Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

    mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen

    auf übereinstimmen.
  4. Es ist und für alle .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.


Lösung

Für sind sowohl als auch negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu

Dies ist äquivalent zu .

Für ist nichtnegativ und negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu

Dies ist äquivalent zu und zu .

Für sind sowohl als auch nichtnegativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu

und dies ist äquivalent zu .

Als Lösungsmenge ergeben sich also die beiden offenen Intervalle und .


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Für kann man die Folge (durch Erweiterung mit ) als

schreiben. Folgen vom Typ und sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen , so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.


Lösung

Wir führen Induktion über . Bei steht beidseitig , so dass die Aussage gilt. Sei nun die Aussage für bereits bewiesen. Dann ist

da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass

eine Quadratwurzel von ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion und

eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge , konvergiert. Zeige, dass konstant ist.


Lösung

Nehmen wir an, dass stetig, aber nicht konstant ist. Dann gibt es zwei Punkte mit . Sei der Betrag der Differenz der Funktionswerte. Wir setzen . Wegen der Stetigkeit gibt es ein und ein derart, dass und ist. Da es in der -Umgebung von und der -Umgebung von unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele Indizes der Folge mit und unendlich viele Indizes mit .

Es sei der Grenzwert der Folge . Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es ein derart, dass für alle alle Folgenglieder in der -Umgebung von liegen. Diese Umgebung ist aber zu mindestens einer der -Umgebungen von oder disjunkt, so dass ein Widerspruch vorliegt.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

genau zwei Nullstellen besitzt.


Lösung

Bei liegt eine Nullstelle vor. Auf sind beide Summanden positiv, und für ist , so dass, da zwischen und liegt, jenseits von keine Nullstelle liegen kann. Für ist wiederum , so dass unterhalb von auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf höchstens eine Nullstelle. Es ist , so dass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf auch negative Werte annehmen. Wegen muss nach dem Zwischenwertsatz in mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf als auch auf eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über die Beziehung


Lösung

Für ist nach der Kettenregel

Zum Induktionsschluss sei die Aussage für Funktionen schon bewiesen, und seien Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und sei eine -te komplexe Einheitswurzel. Es sei

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung erfüllt.


Lösung

Für ist

Für ist auch und daher geht der Ausdruck gegen . Somit gilt


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die beiden Definitionen für die Zahl übereinstimmen, beweise also die Gleichheit


Lösung

Aufgrund von Korollar 20.12 ist . Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere

Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Lösung

Es ist

Für die erste Ableitung gilt

und somit

Für die zweite Ableitung gilt

und somit

Das Taylor-Polynom vom Grad ist daher


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu und eingeschlossen wird.


Lösung

Für zwischen und ist und für ist . Die eingeschlossene Fläche liegt also innerhalb des Einheitsquadrates. Daher ist der Flächeninhalt gleich dem bestimmten Integral der Wurzelfunktion von bis minus dem bestimmten Integral (in den gleichen Grenzen) zur Parabel. Daher ist der Flächeninhalt gleich


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

für .


Lösung

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das lineare Gleichungssystem

und

Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt

Also ist ,

und

Somit ist

und eine Stammfunktion ist


Aufgabe (5 (4+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

für .

b) Löse das Anfangswertproblem


Lösung

a) Wir berechnen zuerst die Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung

Eine Stammfunktion zu ist . Daher sind (mit )

die Lösungen der homogenen Gleichung.

Zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung müssen wir eine Stammfunktion zu

bestimmen. Eine solche ist . Somit sind die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung gleich

b) Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir das aus Teil a) bestimmen. Die Anfangsbedingung führt auf

also ist und

ist die Lösung des Anfangswertproblems.

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