Lösung
- Ein
Körper
heißt angeordnet, wenn es eine
totale Ordnung
„
“ auf
gibt, die die beiden Eigenschaften
- Aus
folgt
(für beliebige
)
- Aus
und
folgt
(für beliebige
)
erfüllt.
- Eine Folge in
ist eine
Abbildung
-
- Eine Folge von abgeschlossenen
Intervallen
-
in
heißt eine Intervallschachtelung, wenn
für alle
ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
-
gegen
konvergiert.
- Die
Abbildung
-
heißt komplexe Konjugation.
- Ein Punkt
heißt Berührpunkt von
, wenn es (mindestens) eine Folge
gibt, die gegen
konvergiert.
- Die komplexen Nullstellen des
Polynoms
-
heißen
-te komplexe Einheitswurzeln.
- Eine
Funktion
-
heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
-
von
gibt derart, dass
auf jedem offenen Teilintervall
konstant
ist.
- Die Funktion
-
heißt die Integralfunktion zu
zum Startpunkt
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper
.
- Das
Quetschkriterium
für reelle Folgen.
- Der
Entwicklungssatz für Potenzreihen
(die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).
- Die
„Periodizitätseigenschaft“
für Kosinus und Sinus bei Addition mit
.
Lösung
- Für
und
ist
-

- Es seien
und
reelle Folgen. Es gelte
-
und
und
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert
. Dann konvergiert auch
gegen diesen Grenzwert
.
- Es sei
-

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius
und sei
. Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
-

mit Entwicklungspunkt
und mit einem Konvergenzradius
derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen
auf
übereinstimmen.
- Es ist
und
für alle
.
Bestimme die reellen
Intervalle,
die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.
-

Lösung
Entscheide, ob die
Folge
-

in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Lösung
Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.
Lösung
Lösung
Es ist

Es sei
-
eine stetige Funktion und
-
eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge
, konvergiert. Zeige, dass
konstant ist.
Lösung
Nehmen wir an, dass
stetig, aber nicht konstant ist. Dann gibt es zwei Punkte
mit
. Sei
der Betrag der Differenz der Funktionswerte. Wir setzen
. Wegen der Stetigkeit gibt es ein
und ein
derart, dass
und
ist. Da es in der
-Umgebung von
und der
-Umgebung von
unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele
Indizes der Folge mit
und unendlich viele Indizes mit
.
Es sei
der Grenzwert der Folge
. Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es ein
derart, dass für alle
alle Folgenglieder
in der
-Umgebung von
liegen. Diese Umgebung ist aber zu mindestens einer der
-Umgebungen von
oder
disjunkt, so dass ein Widerspruch vorliegt.
Zeige, dass die Funktion
-
genau zwei Nullstellen besitzt.
Lösung
Bei
liegt eine Nullstelle vor. Auf
sind beide Summanden positiv, und für
ist
, so dass, da
zwischen
und
liegt, jenseits von
keine Nullstelle liegen kann. Für
ist wiederum
, so dass unterhalb von
auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall
ziehen wir die Ableitung heran. Es ist
-

Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf
höchstens eine Nullstelle. Es ist
, so dass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf
auch negative Werte annehmen. Wegen
muss
nach dem Zwischenwertsatz in
mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen
geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf
als auch auf
eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.
Es seien
-
differenzierbare Funktionen.
Beweise durch Induktion über
die Beziehung
-

Lösung
Lösung
Zeige, dass die beiden Definitionen für die Zahl
übereinstimmen, beweise also die Gleichheit
-

Lösung
Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad
der Funktion
-
im Entwicklungspunkt
.
Lösung
Es ist
-

Für die erste Ableitung gilt
-

und somit
-

Für die zweite Ableitung gilt
-

und somit
-

Das Taylor-Polynom vom Grad
ist daher
-
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
und
eingeschlossen wird.
Lösung
Bestimme eine Stammfunktion von
-
für
.
Lösung
Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also
-

Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das lineare Gleichungssystem
-

-

und
-

Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt
-

Also ist
,
-

und
-

Somit ist
-

und eine Stammfunktion ist
-
Aufgabe (5 (4+1) Punkte)
a) Finde alle
Lösungen
der
inhomogenen linearen Differentialgleichung
-
für
![{\displaystyle {}t\in {]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2d53e3273126ab995f81ff99cb78d0557d78b7)
.
b) Löse das Anfangswertproblem
-
Lösung
a) Wir berechnen zuerst die Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung
-
Eine Stammfunktion zu
ist
. Daher sind
(mit
)
-

die Lösungen der homogenen Gleichung.
Zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung müssen wir eine Stammfunktion zu
-
bestimmen. Eine solche ist

. Somit sind die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung gleich
-
b) Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir das
aus Teil a) bestimmen. Die Anfangsbedingung führt auf
-

also ist
und
-
ist die Lösung des Anfangswertproblems.