Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/11/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 7 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 6 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Ein \stichwort {angeordneter} {} Körper.

}{Eine \stichwort {Folge} {} in einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {Intervallschachtelung} {} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}

}{Ein \stichwort {Berührpunkt} {} einer Menge
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{.}

}{Eine $n$-te \stichwort {komplexe Einheitswurzel} {} \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {.}

}{Eine \stichwort {Treppenfunktion} {} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}

}{Die \stichwort {Integralfunktion} {} zum Startpunkt
\mathl{a \in I}{} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.} }

}
{

\aufzaehlungacht{Ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ heißt angeordnet, wenn es eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{} \anfuehrung{$\geq$}{} auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften \aufzaehlungzwei {Aus
\mathl{a \geq b}{} folgt
\mathl{a + c \geq b + c}{} \zusatzklammer {für beliebige $a , b , c \in K$} {} {} } {Aus
\mathl{a \geq 0}{} und
\mathl{b \geq 0}{} folgt
\mathl{a b \geq 0}{} \zusatzklammer {für beliebige $a, b \in K$} {} {} } erfüllt. }{Eine Folge in $M$ ist eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\N} {M } {n} {x_n } {.} }{Eine Folge von abgeschlossenen \definitionsverweis {Intervallen}{}{}
\mathdisp {I_n =[a_n ,b_n], \, n \in \N} { , }
in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_{n+1} }
{ \subseteq }{ I_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{n \in \N}{} ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
\mathdisp {{ \left( b_n-a_n \right) }_{ n \in \N }} { , }
gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} }{Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z = a+b { \mathrm i} } { \overline{ z } = a-b { \mathrm i} } {,} heißt komplexe Konjugation. }{Ein Punkt
\mathl{x \in {\mathbb K}}{} heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge
\mathl{x_n \in T}{} gibt, die gegen
\mathl{x}{} konvergiert. }{Die komplexen Nullstellen des \definitionsverweis {Polynoms}{}{}
\mathdisp {X^n-1} { }
heißen $n$-te komplexe Einheitswurzeln. }{Eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {t} {I} {\R } {} heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
\mathdisp {a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b} { }
von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall
\mathl{]a_{i-1},a_{i}[}{} \definitionsverweis {konstant}{}{} ist. }{Die Funktion \maabbeledisp {} {I} {\R } {x} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t } {,} heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$. }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {} für einen angeordneten Körper $K$.}{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für reelle Folgen.}{Der \stichwort {Entwicklungssatz für Potenzreihen} {} \zusatzklammer {die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden} {} {.}}{Die \anfuehrung{\stichwort {Periodizitätseigenschaft} {}}{} für Kosinus und Sinus bei Addition mit
\mathl{{ \frac{ \pi }{ 2 } }}{.}}

}
{

\aufzaehlungvier{Für
\mathl{x \geq -1}{} und
\mathl{n \in \N}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(1+x)^n }
{ \geq} { 1+nx }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} reelle Folgen. Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N} { }
und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius
\mathl{R >0}{} und sei
\mathl{b \in U { \left( a,R \right) }}{.} Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h }
{ =} {\sum _{ i= 0}^\infty d_i (z-b)^{ i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Entwicklungspunkt $b$ und mit einem Konvergenzradius
\mathl{s \geq R-\betrag { a-b }>0}{} derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf
\mathl{U { \left( b,s \right) }}{} übereinstimmen.}{Es ist
\mathl{\cos \left( z+ \pi/2 \right) = - \sin z}{} und
\mathl{\sin \left( z+ \pi/2 \right) = \cos z}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme die reellen \definitionsverweis {Intervalle}{}{,} die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 2x-5 } }
{ <} { \betrag { 3x-4 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Für $x < { \frac{ 4 }{ 3 } } \leq { \frac{ 5 }{ 2 } }$ sind sowohl $3x-4$ als auch $2x-5$ negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{-2x}+5 }
{ <} {-3x+4}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Dies ist äquivalent zu $x < -1$.

Für ${ \frac{ 4 }{ 3 } } \leq x < { \frac{ 5 }{ 2 } }$ ist $3x-4$ nichtnegativ und $2x-5$ negativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{-2x}+5 }
{ <} {3x-4}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Dies ist äquivalent zu
\mathl{5x > 9}{} und zu
\mathl{x > { \frac{ 9 }{ 5 } }}{.}

Für $x \geq { \frac{ 5 }{ 2 } }$ sind sowohl $3x-4$ als auch $2x-5$ nichtnegativ. In diesem Bereich ist die Betragsungleichung daher äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x-5 }
{ <} {3x-4}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} und dies ist äquivalent zu
\mathl{x > -1}{.}

Als Lösungsmenge ergeben sich also die beiden offenen Intervalle
\mathl{]{-\infty}, -1[}{} und
\mathl{] { \frac{ 9 }{ 5 } } , \infty [}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{

Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man die Folge \zusatzklammer {durch Erweiterung mit $1/n^3$} {} {} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { \frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8} }
{ =} { \frac{ 3 - \frac{1}{n} - \frac{7}{n^3} }{ 2+ \frac{1}{n^2}+ \frac{8}{n^3} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben. Folgen vom Typ \mathkor {} {a/n, \, a/n^2} {und} {a/n^3} {} sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen $3$ und der Nenner gegen $2$, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3/2 }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konvergiert.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

}
{

Wir führen Induktion über $n$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} steht beidseitig $1$, so dass die Aussage gilt. Sei nun die Aussage für $n$ bereits bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (1+x)^{n+1} }
{ =} { (1+x)^{n} (1+x) }
{ \geq} { (1+nx)(1+x) }
{ =} { 1+(n+1)x + nx^2 }
{ \geq} { 1+(n+1)x }
} {} {}{,} da Quadrate \zusatzklammer {und positive Vielfache davon} {} {} in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es sei $z=a+b { \mathrm i}$ eine komplexe Zahl mit $b <0$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} { \frac{1}{ \sqrt{2} } { \left( - \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }-a } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Quadratwurzel von $z$ ist.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{v^2 }
{ =} {{ \left( \frac{1}{\sqrt{2} } { \left( - \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z } - a } \right) } \right) }^2 }
{ =} {\frac{1}{2} { \left( \betrag { z } + a - { \left( \betrag { z }-a \right) } - 2 { \mathrm i} \sqrt{ { \left( \betrag { z } +a \right) } { \left( \betrag { z }-a \right) } } \right) } }
{ =} {\frac{1}{2} { \left( 2a - 2 { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }^2 - a^2 } \right) } }
{ =} {\frac{1}{2} { \left( 2a - 2 { \mathrm i} \sqrt{ b^2 } \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\frac{1}{2} { \left( 2a - 2 { \mathrm i} (-b) \right) } }
{ =} {a+b { \mathrm i} }
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine stetige Funktion und \maabbdisp {g} {\N} {\Q } {} eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge
\mathl{f(g(n)),\, n \in \N}{,} konvergiert. Zeige, dass $f$ konstant ist.

}
{

Nehmen wir an, dass $f$ stetig, aber nicht konstant ist. Dann gibt es zwei Punkte $x, x' \in \R$ mit $f(x) \neq f(x')$. Sei $a= \betrag { f(x)-f(x') } > 0$ der Betrag der Differenz der Funktionswerte. Wir setzen $\epsilon = a/5$. Wegen der Stetigkeit gibt es ein $\delta>0$ und ein $\delta' >0$ derart, dass $f([x- \delta,x + \delta]) \subseteq [ f(x) - \epsilon, f(x) +\epsilon]$ und $f([x'- \delta',x' + \delta']) \subseteq [ f(x') - \epsilon, f(x') +\epsilon]$ ist. Da es in der $\delta$-Umgebung von $x$ und der $\delta'$-Umgebung von $x'$ unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele Indizes der Folge mit $f(g(n)) \in [ f(x) - \epsilon, f(x) +\epsilon]$ und unendlich viele Indizes mit $f(g(n)) \in [ f(x') - \epsilon, f(x') +\epsilon]$.

Es sei $y$ der Grenzwert der Folge $f(g(n))$. Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle $n \geq n_0$ alle Folgenglieder $f(g(n))$ in der $\epsilon$-Umgebung von $y$ liegen. Diese Umgebung ist aber zu mindestens einer der $\epsilon$-Umgebungen von $f(x)$ oder $f(x')$ disjunkt, so dass ein Widerspruch vorliegt.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2 + \sin x } {,} genau zwei Nullstellen besitzt.

}
{

Bei
\mathl{x=0}{} liegt eine Nullstelle vor. Auf
\mathl{]0, \pi[}{} sind beide Summanden positiv, und für
\mathl{x \geq \pi}{} ist
\mathl{x^2 \geq 9}{,} so dass, da
\mathl{\sin x}{} zwischen \mathkor {} {{-1}} {und} {1} {} liegt, jenseits von $0$ keine Nullstelle liegen kann. Für
\mathl{x < -1}{} ist wiederum
\mathl{x^2 > 1}{,} so dass unterhalb von
\mathl{{-1}}{} auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall
\mathl{[- 1,0]}{} ziehen wir die Ableitung heran. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} {2x + \cos x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf
\mathl{]{-1},0[}{} höchstens eine Nullstelle. Es ist
\mathl{f'(0) =1 >0}{,} so dass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf
\mathl{]{-1},0[}{} auch negative Werte annehmen. Wegen
\mathl{f(-1)=1 + \sin \left( -1 \right) >0}{} muss $f$ nach dem Zwischenwertsatz in
\mathl{]{-1},0[}{} mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen
\mathl{{-1} < c < d < 0}{} geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf
\mathl{]c,d[}{} als auch auf
\mathl{]d,0[}{} eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Es seien \maabbdisp {g_1,g_2 , \ldots , g_n} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \right) }^\prime }
{ =} { { \frac{ - 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \left( { \frac{ g_1' }{ g_1 } } + { \frac{ g_2' }{ g_2 } } + \cdots + { \frac{ g_n' }{ g_n } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Für
\mathl{n=1}{} ist nach der Kettenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 } } \right) }^\prime }
{ =} { - { \frac{ g_1' }{ g_1^2 } } }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ g_1 } } \cdot { \frac{ g_1' }{ g_1 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Zum Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ Funktionen schon bewiesen, und seien $n+1$ Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n \cdot g_{n+1} } } \right) }' }
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \frac{ 1 }{ g_{n+1} } } \right) }' }
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \right) }' \cdot { \frac{ 1 }{ g_{n+1} } } + { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ g_{n+1} } } \right) }^\prime }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \left( { \frac{ g_1' }{ g_1 } } + { \frac{ g_2' }{ g_2 } } + \cdots + { \frac{ g_n' }{ g_n } } \right) } \cdot { \frac{ 1 }{ g_{n+1} } } + { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \left( - { \frac{ 1 }{ g_{n+1} } } \cdot { \frac{ g_{n+1}' }{ g_{n+1} } } \right) } }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n \cdot g_{n+1} } } \cdot { \left( { \frac{ g_1' }{ g_1 } } + { \frac{ g_2' }{ g_2 } } + \cdots + { \frac{ g_n' }{ g_n } } \right) } - { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n \cdot g_{n+1} } } \cdot { \frac{ g_{n+1}' }{ g_{n+1} } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { - { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n \cdot g_{n+1} } } \cdot { \left( { \frac{ g_1' }{ g_1 } } + { \frac{ g_2' }{ g_2 } } + \cdots + { \frac{ g_n' }{ g_n } }+ { \frac{ g_{n+1}' }{ g_{n+1} } } \right) } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei $n \in \N_+$ und sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {f(z) } {,} eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit
\mathl{f( \zeta z) =f( z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung
\mathl{f'(\zeta z) = \zeta^{n-1} f' ( z)}{} erfüllt.

}
{

Für
\mathl{h \neq 0}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ f(\zeta z +h) - f( \zeta z) }{ h } } }
{ =} { { \frac{ f(\zeta z + \zeta { \frac{ h }{ \zeta } } ) - f( \zeta z) }{ h } } }
{ =} {{ \frac{ f( z + { \frac{ h }{ \zeta } } ) - f( z) }{ \zeta { \frac{ h }{ \zeta } } } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \zeta } } { \frac{ f( z + { \frac{ h }{ \zeta } } ) - f( z) }{ { \frac{ h }{ \zeta } } } } }
{ } { }
} {} {}{.} Für
\mathl{h \rightarrow 0}{} ist auch
\mathl{{ \frac{ h }{ \zeta } } \rightarrow 0}{} und daher geht der Ausdruck
\mathl{{ \frac{ f( z + { \frac{ h }{ \zeta } } ) - f( z) }{ { \frac{ h }{ \zeta } } } }}{} gegen
\mathl{f'(z)}{.} Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(\zeta z) }
{ =} { \zeta^{-1} f'(z) }
{ =} { \zeta^{n-1} f'(z) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{

Zeige, dass die beiden Definitionen für die Zahl $e$ übereinstimmen, beweise also die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }^n }
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Aufgrund von Korollar 20.12 ist
\mathl{\ln \!'( 1) =1}{.} Dies bedeutet aufgrund der Definition des \definitionsverweis {Differentialquotienten}{}{} insbesondere
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \ln (1+\frac{1}{n}) }{\frac{1}{n} } =1} { . }
Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als
\mathl{n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) }}{} und wenden darauf die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp 1 }
{ =} { \exp \left( \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \right) } \right) }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \exp \left( n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \right) }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^n }
{ =} { e }
} {} {}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $2$ der Funktion \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} { {\mathbb C} } {z} { f(z) = { \frac{ z^2 -z +3 }{ z } } } {,} im Entwicklungspunkt ${ \mathrm i}$.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(i) }
{ =} { { \frac{ i^2-i+3 }{ i } } }
{ =} { { \frac{ -i+2 }{ i } } }
{ =} { -1 -2i }
{ } { }
} {}{}{.} Für die erste Ableitung gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(z) }
{ =} { { \frac{ (2z-1) z - z^2+z-3 }{ z^2 } } }
{ =} { { \frac{ z^2-3 }{ z^2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(i) }
{ =} { { \frac{ i^2-3 }{ i^2 } } }
{ =} { { \frac{ -4 }{ -1 } } }
{ =} { 4 }
{ } { }
} {}{}{.} Für die zweite Ableitung gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime}(z) }
{ =} { { \frac{ (2z) z^2 - (z^2-3) 2z }{ z^4 } } }
{ =} { { \frac{ 2 (z^2 -z^2 +3) }{ z^3 } } }
{ =} { { \frac{ 6 }{ z^3 } } }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(i) }
{ =} { { \frac{ 6 }{ i^3 } } }
{ =} { 6i }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das Taylor-Polynom vom Grad $2$ ist daher
\mathdisp {-1 -2i + 4 (z-i) +3i (z-i)^2} { . }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x) }
{ = }{ \sqrt{x} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eingeschlossen wird.

}
{

Für $x$ zwischen \mathkor {} {0} {und} {1} {} ist
\mathl{0 \leq x^2 \leq x \leq \sqrt{x} \leq 1}{} und für
\mathl{x \geq 1}{} ist
\mathl{x^2 \geq \sqrt{x}}{.} Die eingeschlossene Fläche liegt also innerhalb des Einheitsquadrates. Daher ist der Flächeninhalt gleich dem bestimmten Integral der Wurzelfunktion von $0$ bis $1$ minus dem bestimmten Integral \zusatzklammer {in den gleichen Grenzen} {} {} zur Parabel. Daher ist der Flächeninhalt gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{A }
{ =} { \int_0^1 \sqrt{x} dx - \int_0^1 x^2 dx }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } x^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } } | _{ 0 } ^{ 1 } - { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 | _{ 0 } ^{ 1 } }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } - { \frac{ 1 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } }
} {} {}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ x^2+1 }{ x(x-1)(x-2) } }} { }
für
\mathl{x >2}{.}

}
{

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^2+1 }{ x(x-1)(x-2) } } }
{ =} { { \frac{ \alpha }{ x } }+ { \frac{ \beta }{ x-1 } } + { \frac{ \gamma }{ x-2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x^2+1 }
{ =} { \alpha (x-1)(x-2) + \beta x(x-2) + \gamma x(x-1) }
{ =} {\alpha (x^2-3x+2) + \beta (x^2-2x) + \gamma (x^2-x) }
{ =} { x^2 (\alpha +\beta + \gamma) +x (-3\alpha -2\beta-\gamma) +2\alpha }
{ } { }
} {} {}{.} Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha +\beta + \gamma }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -3 \alpha -2 \beta - \gamma }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \alpha }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -2 \alpha - \beta }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\beta }
{ =} { -2 \alpha -1 }
{ =} {-2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\gamma }
{ =} {1 - \alpha -\beta }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^2+1 }{ x(x-1)(x-2) } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ x } } -2 \cdot { \frac{ 1 }{ x-1 } } + { \frac{ 5 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ x-2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und eine Stammfunktion ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln x -2\cdot \ln (x-1) + { \frac{ 5 }{ 2 } } \cdot \ln (x-2)} { . }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5 (4+1)}
{

a) Finde alle \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + (t^2-3) \cos t} { }
für
\mathl{t \in {]{- { \frac{ \pi }{ 2 } }} , { \frac{ \pi }{ 2 } } [}}{.}

b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + ( t^2-3 ) \cos t \text{ mit } y(0)=7} { . }

}
{

a) Wir berechnen zuerst die Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y} { . }
Eine Stammfunktion zu
\mathl{g(t)= - { \frac{ \sin t }{ \cos t } }}{} ist
\mathl{G(t)= \ln { \left( \cos t \right) }}{.} Daher sind \zusatzklammer {mit \mathlk{c \in \R}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c \cdot e^{ \ln { \left( \cos t \right) } } }
{ =} {c \cdot \cos t }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} die Lösungen der homogenen Gleichung.

Zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung müssen wir eine Stammfunktion zu
\mathdisp {(t^2-3) \cdot \cos t \cdot (\cos t)^{-1} =t^2-3} { }
bestimmen. Eine solche ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } } t^3 -3t}{.} Somit sind die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung gleich
\mathbeddisp {{ \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } t^3 -3t \right) } \cos t +c \cdot \cos t} {}
{c \in \R} {}
{} {} {} {.}

b) Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir das $c$ aus Teil a) bestimmen. Die Anfangsbedingung führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c \cos 0 }
{ =} {7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist
\mathl{c=7}{} und
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } t^3 -3t \right) } \cos t + 7 \cdot \cos t} { }
ist die Lösung des Anfangswertproblems.

}

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