Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/12/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 4 4 3 2 3 3 5 2 4 4 2 4 4 3 4 2 4 5 2 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Eine Folge in einer Menge .
  3. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  4. Die komplexe Konjugation.
  5. Ein Berührpunkt einer Menge .
  6. Eine -te komplexe Einheitswurzel ().
  7. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  8. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von komplexen Zahlen.
  3. Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge
    auf einer Teilmenge .
  4. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion
    in einem Punkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Die offizielle Berechtigung für eine Klausurteilnahme werde durch mindestens Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.


Aufgabe * (2 Punkte)

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Überabzählbarkeit von .


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

summierbar ist oder nicht.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für , , die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil .


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Bestimme die Ableitung (auf den jeweiligen Definitionsbereichen) der folgenden Funktionen:

a) ,

b) .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die Funktionen , , das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte auf .


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu einer Geraden , , die Schnittpunkte mit dem Graphen von .

b) Zu einer gegebenen Geraden aus Teil (a) legen der Schnittpunkt mit , sein Basispunkt und der Nullpunkt ein Dreieck fest. Zeige, dass der Graph von dieses Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.

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