Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 4 4 3 2 3 3 5 2 4 4 2 4 4 3 4 2 4 5 2 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Eine Folge in einer Menge .
  3. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  4. Die komplexe Konjugation.
  5. Ein Berührpunkt einer Menge .
  6. Eine -te komplexe Einheitswurzel ().
  7. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  8. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Lösung

  1. Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung“ auf gibt, die die beiden Eigenschaften
    1. Aus folgt (für beliebige )
    2. Aus und folgt (für beliebige )

    erfüllt.

  2. Eine Folge in ist eine Abbildung
  3. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.

  4. Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.

  5. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.
  6. Die komplexen Nullstellen des Polynoms

    heißen -te komplexe Einheitswurzeln.

  7. Eine Funktion

    heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.

  8. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von komplexen Zahlen.
  3. Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge
    auf einer Teilmenge .
  4. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion
    in einem Punkt .


Lösung

  1. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|beschränkte]] Folge von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]]. Dann besitzt die Folge eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|konvergente]] Teilfolge.
  2. Es gebe eine konvergente Reihe von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]] mit für alle . Dann ist die Reihe

    [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/


    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|absolut konvergent]].
  3. Es sei eine Teilmenge und es sei

    eine Folge von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|stetigen Funktionen]], die gleichmäßig

    gegen die Funktion konvergiert. Dann ist stetig.
  4. Die Funktion ist in genau dann [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|differenzierbar]], wenn es ein und eine Funktion

    gibt mit stetig in und und mit


Aufgabe (3 Punkte)

Die offizielle Berechtigung für eine Klausurteilnahme werde durch mindestens Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.


Lösung

Wir wollen zeigen, dass man zu jedem mit Punkten zur Klausur zugelassen wird. Dies folgt für unmittelbar aus der offiziellen Grenze. Wir betrachten und setzen . Dies ist eine nichtnegative Zahl, über die wir Induktion führen, die Aussage ist

Bei ist und dies reicht zur Zulassung. Sei nun die Aussage für irgend ein bewiesen, d.h. mit Punkten wird man zugelassen. Es ist zu zeigen, dass die Aussage auch für gilt, d.h. dass man auch mit Punkten zugelassen wird. Wenn das aber nicht so wäre, so würde man mit Punkten zugelassen werden, aber nicht mit einem Punkt weniger, und es würde doch auf einen einzigen Punkt ankommen im Widerspruch zur Zusicherung des Professors.


Aufgabe (2 Punkte)

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.


Lösung

Wir messen die Zeit in Minuten nach Uhr. Der Eintauchzeitpunkt ist eine Zahl , der rechte Rand ist nicht möglich, da die Uhr dann schon anzeigen würde. Der zweite Moment wird durch beschrieben. Es ist also

und

wobei die Abschätzungen optimal sind. Die Differenz ist nach unten durch

beschränkt. Da diese Abschätzung optimal ist, folgt, dass das Infimum gleich ist und dass das Minimum nicht existiert. Die Differenz ist nach oben durch

beschränkt. Das Supremum ist also und das Maximum existiert nicht.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Lösung

Sei vorgegeben. Es ist

so dass es genügt, die Aussage für reelles , , zu zeigen. Es ist

wir schreiben mit . Aufgrund des Archimedes-Prinzips gibt es ein derart, dass

ist. Nach der Bernoullischen Ungleichung gilt somit für die Abschätzung

Also ist

für .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Lösung

Wir zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert, woraus nach Fakt ***** die Konvergenz folgt. Wegen ist

Die Reihe konvergiert nach Beispiel 9.12, so dass nach dem Majorantenkriterium konvergiert.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Überabzählbarkeit von .


Lösung

Nehmen wir an, die Menge der reellen Zahlen sei abzählbar, dann ist insbesondere auch das Einheitsintervall abzählbar. Sei also

eine surjektive Abbildung. Wir betrachten die reellen Zahlen als Ziffernfolgen im Dreiersystem: Jede reelle Zahl besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung als Reihe

wobei die -te Nachkommaziffer ist und wobei nicht fast alle Ziffern gleich sind (sonst hätte man keine Eindeutigkeit). Wir definieren nun eine reelle Zahl durch mit

Wir behaupten, dass diese Zahl nicht in der Aufzählung vorkommt. Für jedes ist nämlich , da sich nach Konstruktion von an der -ten Nachkommastelle unterscheidet. Also ist doch nicht surjektiv.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.


Lösung

Die Funktion
ist

stetig und es ist und . Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall eine Nullstelle geben, also ein mit . Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus irrational ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge


Lösung

Sei und vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein mit für alle und alle . Wegen der Stetigkeit von in gibt es ein mit für alle mit . Für diese gilt somit


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

summierbar ist oder nicht.


Lösung

Wir zeigen, dass diese Familie nicht summierbar ist. Es genügt zu zeigen, dass die endlichen Teilsummen der Familie unbeschränkt sind. Sei dazu gegeben. Aufgrund des Archimedesprinzips gibt es ein mit . Zwischen und gibt es unendlich viele rationale Zahlen, so dass wir verschiedene rationale Zahlen in diesem Intervall wählen können. Für die zugehörige endliche Teilsumme gilt dann

so dass überschritten wird.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert


Lösung

Wir verwenden die Regel von Hospital. Die Ableitung der Zählerfunktion ist

mit dem Wert für und die Ableitung der Nennerfunktion ist

mit dem Wert für . Daher ist Hospital anwendbar und es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für , , die Gleichheit

gilt.


Lösung

Es ist

Wir wenden die Umkehrfunktion auf diese Gleichung an und erhalten


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil .


Lösung

a) Nach der Produkt- und Kettenregel ist

b) Wir berechnen zuerst . Es ist

Die Ableitung ist daher
Andererseits ist
und daher nach Teil a)


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Bestimme die Ableitung (auf den jeweiligen Definitionsbereichen) der folgenden Funktionen:

a) ,

b) .


Lösung

a)

b)


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Funktionen , , das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte auf .


Lösung

Bei ist die zweite Ableitung im Innern des angegebenen Intervalls negativ, also ist der Sinus dort nach Korollar 20.6 eine konkave Funktion. Sei und . Die Ableitung ist

und die zweite Ableitung ist

Der Faktor vorne ist im Innern des Intervalls positiv, also müssen wir nur den zweiten Faktor untersuchen. Es ist

genau dann, wenn

ist. Für ist also konvex und für ist konkav. Bei liegt der Wendepunkt vor.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.


Lösung

a) Die Länge des Intervalls ist , daher muss die Länge der Teilintervalle gleich sein. Dies ergibt die Teilintervalle

b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte und besitzt, hat das Treppenintegral


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu einer Geraden , , die Schnittpunkte mit dem Graphen von .

b) Zu einer gegebenen Geraden aus Teil (a) legen der Schnittpunkt mit , sein Basispunkt und der Nullpunkt ein Dreieck fest. Zeige, dass der Graph von dieses Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt.


Lösung

a) Wir setzen

Dies ergibt die Lösungen , und , die Schnittpunkte sind also

b) Die Eckpunkte des Dreiecks sind

Sein Flächeninhalt ist demnach gleich

Der Flächeninhalt innerhalb des Dreiecks und unterhalb des Graphen berechnet sich als bestimmtes Integral zu

Dies ist die Hälfte des Dreiecksinhalts.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Lösung

Es sei

für jede stetige Funktion

Da selbst stetig ist, gilt diese Beziehung insbesondere für , es ist also

Nehmen wir an, dass nicht die Nullfunktion ist. Sei mit . Dann ist und da stetig ist, gibt es ein Teilintervall , worauf die Werte der Funktion mindestens so groß wie sind. Wegen ist daher

im Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.


Lösung

Die Funktion ist eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung

Wegen ist diese wohldefiniert. Einsetzen von zeigt unmittelbar, dass eine Lösung vorliegt.

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