Lösung
- Ein
Körper
heißt angeordnet, wenn es eine
totale Ordnung
„
“ auf
gibt, die die beiden Eigenschaften
- Aus
folgt
(für beliebige
)
- Aus
und
folgt
(für beliebige
)
erfüllt.
- Eine Folge in
ist eine
Abbildung
-
- Eine Folge von abgeschlossenen
Intervallen
-
in
heißt eine Intervallschachtelung, wenn
für alle
ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
-
gegen
konvergiert.
- Die
Abbildung
-
heißt komplexe Konjugation.
- Ein Punkt
heißt Berührpunkt von
, wenn es (mindestens) eine Folge
gibt, die gegen
konvergiert.
- Die komplexen Nullstellen des
Polynoms
-
heißen
-te komplexe Einheitswurzeln.
- Eine
Funktion
-
heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
-
von
gibt derart, dass
auf jedem offenen Teilintervall
konstant
ist.
- Die Funktion
-
heißt die Integralfunktion zu
zum Startpunkt
.
Lösung
Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens
Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.
Lösung
Wir wollen zeigen, dass man zu jedem
mit
Punkten zur Klausur zugelassen wird. Dies folgt für
unmittelbar aus der offiziellen Grenze. Wir betrachten
und setzen
. Dies ist eine nichtnegative Zahl, über die wir Induktion führen, die Aussage ist
-
Bei
ist
und dies reicht zur Zulassung. Sei nun die Aussage für irgendein
bewiesen, d. h., mit
Punkten wird man zugelassen. Es ist zu zeigen, dass die Aussage auch für
gilt, d.h. dass man auch mit
Punkten zugelassen wird. Wenn das aber nicht so wäre, so würde man mit
Punkten zugelassen werden, aber nicht mit einem Punkt weniger, und es würde doch auf einen einzigen Punkt ankommen im Widerspruch zur Zusicherung des Professors.
Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr
(die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe).
Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie
an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.
Lösung
Wir messen die Zeit in Minuten nach
Uhr. Der Eintauchzeitpunkt ist eine Zahl
, der rechte Rand ist nicht möglich, da die Uhr dann schon
anzeigen würde. Der zweite Moment wird durch
beschrieben. Es ist also
-

und
-

wobei die Abschätzungen optimal sind. Die Differenz ist nach unten durch
-

beschränkt. Da diese Abschätzung optimal ist, folgt, dass das Infimum gleich
ist und dass das Minimum nicht existiert. Die Differenz ist nach oben durch
-

beschränkt. Das Supremum ist also
und das Maximum existiert nicht.
Lösung
Sei
vorgegeben. Es ist
-

so dass es genügt, die Aussage für reelles
,
,
zu zeigen. Es ist
-

wir schreiben
mit
.
Aufgrund des Archimedes-Prinzips gibt es ein
derart, dass
-

ist. Nach
der Bernoullischen Ungleichung
gilt somit für
die Abschätzung
-

Also ist
-

für
.
Zeige, dass die
Reihe
-
konvergiert.
Lösung
Beweise die Überabzählbarkeit von
.
Lösung
Nehmen wir an, die Menge der reellen Zahlen sei
abzählbar,
dann ist insbesondere auch das
Einheitsintervall
abzählbar. Sei also
-
eine
surjektive Abbildung.
Wir betrachten die reellen Zahlen als Ziffernfolgen im Dreiersystem: Jede reelle Zahl
besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung als
Reihe
-
wobei die
-te Nachkommaziffer
ist und wobei nicht
fast alle
Ziffern gleich
sind
(sonst hätte man keine Eindeutigkeit).
Wir definieren nun eine reelle Zahl durch
mit
-
Wir behaupten, dass diese Zahl
nicht in der Aufzählung
vorkommt. Für jedes
ist nämlich
, da
sich nach Konstruktion von
an der
-ten Nachkommastelle unterscheidet. Also ist
doch nicht surjektiv.
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von
nach
nicht gelten muss.
Lösung
Die Funktion
-
ist
stetig und es ist
und
. Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall
eine Nullstelle geben, also ein
mit
. Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus
irrational ist.
Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge
-
Lösung
Sei
und
vorgegeben. Aufgrund der
gleichmäßigen Konvergenz
gibt es ein
mit
für alle
und alle
. Wegen der
Stetigkeit
von
in
gibt es ein
mit
für alle
mit
. Für diese
gilt somit

Bestimme, ob die Familie
-
summierbar
ist oder nicht.
Lösung
Wir zeigen,
dass diese Familie nicht summierbar ist. Es genügt zu zeigen, dass die endlichen Teilsummen der Familie unbeschränkt sind. Sei dazu
gegeben. Aufgrund des
Archimedesprinzips
gibt es ein
mit
. Zwischen
und
gibt es unendlich viele
rationale Zahlen,
so dass wir
verschiedene rationale Zahlen
in diesem Intervall wählen können. Für die zugehörige endliche Teilsumme gilt
dann
-

so dass
überschritten wird.
Bestimme den
Grenzwert
-
Lösung
Zeige, dass für
,
,
die Gleichheit
-

gilt.
Lösung
Es ist

Wir wenden die Umkehrfunktion
auf diese Gleichung an und erhalten
-

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)
Lösung
a) Nach der Produkt- und Kettenregel ist
-
b) Wir berechnen zuerst
. Es ist

Die Ableitung ist daher
-
Andererseits ist
-
und daher nach Teil a)

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)
Bestimme die Ableitung
(auf den jeweiligen Definitionsbereichen)
der folgenden Funktionen:
a)
,
b)
.
Lösung
a)

b)

Lösung
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Lösung
a) Die Länge des Intervalls ist
, daher muss die Länge der Teilintervalle gleich
sein. Dies ergibt die Teilintervalle
-
b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte
und
besitzt, hat das Treppenintegral
-

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
-
a) Bestimme zu einer Geraden
,
,
die Schnittpunkte mit dem Graphen von
.
b) Zu einer gegebenen Geraden aus Teil (a) legen der Schnittpunkt
mit
, sein Basispunkt
und der Nullpunkt
ein Dreieck fest. Zeige, dass der Graph von
dieses Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt.
Lösung
a) Wir setzen
-

Dies ergibt die Lösungen
,
und
, die Schnittpunkte sind also
-
b) Die Eckpunkte des Dreiecks sind
-
Sein Flächeninhalt ist demnach gleich
-

Der Flächeninhalt innerhalb des Dreiecks und unterhalb des Graphen berechnet sich als bestimmtes Integral zu
-

Dies ist die Hälfte des Dreiecksinhalts.
Sei
-
stetig
mit
-
für jede stetige Funktion
.
Zeige
.
Lösung
Es sei
-

für jede stetige Funktion
-
Da
selbst stetig ist, gilt diese Beziehung insbesondere für
, es ist also
-

Nehmen wir an, dass
nicht die Nullfunktion ist. Sei
mit
. Dann ist
und da
stetig ist, gibt es ein Teilintervall
, worauf die Werte der Funktion
mindestens so groß wie
sind. Wegen
ist daher

im Widerspruch zur Voraussetzung.
Lösung