Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/13/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 1 2 3 4 4 4 4 8 3 2 3 3 2 3 5 58



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Bild einer Abbildung
  2. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  3. Die komplexe Konjugation.
  4. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  5. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  6. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von komplexen Zahlen.
  3. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion
    in einem Punkt .


Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Mengen und und Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche mit

also

die bekanntlich konvergiert.

a) Zeige, dass die umgeordnete Reihe

konvergiert.

b) Man gebe eine Umordnung der Reihe an, die divergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion, die abzählbar viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion

mit der Eigenschaft, dass die Funktion differenzierbar ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die -fache Hintereinanderschaltung ()

die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).


Aufgabe * (5 Punkte)

Ein Dreieck soll die Grundseite und die Höhe besitzen (). Für welchen Höhenfußpunkt besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?