Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/13/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 1 2 3 4 4 4 4 8 3 2 3 3 2 3 5 58




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Bild einer Abbildung
  2. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  3. Die komplexe Konjugation.
  4. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  5. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  6. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Lösung

  1. Das Bild von ist die Menge
  2. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.

  3. Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.

  4. Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  5. Eine Funktion

    heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.

  6. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von komplexen Zahlen.
  3. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion
    in einem Punkt .


Lösung

  1. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|beschränkte]] Folge von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]]. Dann besitzt die Folge eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|konvergente]] Teilfolge.
  2. Es gebe eine konvergente Reihe von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]] mit für alle . Dann ist die Reihe

    [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/


    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|absolut konvergent]].
  3. Die Funktion ist in genau dann [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|differenzierbar]], wenn es ein und eine Funktion

    gibt mit stetig in und und mit


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.


Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?


Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen

die beiden Paare und unter auf das gleiche Element abgebildet werden.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge die Beziehung

gilt.


Lösung

Sei fixiert. Es sei . Das bedeutet

und das bedeutet

also

Wenn umgekehrt

ist, so bedeutet dies

Also ist

und damit


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Lösung

Wir rechnen die beiden Seiten aus, die zu zeigende Abschätzung bedeutet dann

In einem angeordneten Körper erhalten sich bei beidseitiger Addition die Abschätzungen, so dass die Abschätzung äquivalent zu

ist. Wir schreiben die linke Seite als

Bei ist und daher

also gilt für die Abschätzung und damit die ursprüngliche Abschätzung.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach . Die Aussage ist für klar, sei also angenommen, die Aussage sei für ein beliebiges (für alle ) schon bewiesen, und betrachten wir eine -elementige Menge . Diese Menge ist wegen nicht leer. Wir fixieren ein Element und betrachten die -elementige Teilmenge . Jede Teilmenge von enthält entweder oder nicht. Daher lassen sich die -elementigen Teilmengen von aufteilen in -elementige Teilmengen von (das sind diejenigen Teilmengen, die nicht enthalten), und die -elementigen Teilmengen von (eine solche -elementige Teilmenge definiert die -elementige Teilmenge in ). Daher ist die Gesamtzahl der -elementigen Teilmengen von nach Fakt ***** gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.


Lösung

Es sei , , eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert . Wir behaupten, dass die Folge ebenfalls gegen konvergiert. Sei dazu vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Da eine Cauchy-Folge vorliegt gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Daher gilt für unter Verwendung eines mit die Abschätzung


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.


Lösung

Wir behaupten, dass die Folge gegen konvergiert. Zunächst haben wir die Abschätzung

Sei nun fixiert. Wir zeigen, dass die Folgenglieder für hinreichend groß oberhalb von liegen. Es ist

und somit gilt für hinreichend groß die Abschätzung

Für solche ist dann auch

Also hat man für diese Folgenglieder die Abschätzung

Daraus folgt die Behauptung.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Lösung

Es ist

vorausgesetzt, der Wurzelausdruck ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung

ist äquivalent zu

was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu

ist. Umstellen und Erweitern liefert

Dies ist äquivalent zu

und somit zu


Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche mit

also

die bekanntlich konvergiert.

a) Zeige, dass die umgeordnete Reihe

konvergiert.

b) Man gebe eine Umordnung der Reihe an, die divergiert.


Lösung

a) Drei aufeinanderfolgende Summanden haben die Form

mit . Dies kann man schreiben als

Der Zähler ist und der Nenner ist für . Somit kann man die Summanden für durch

nach oben abschätzen. Da nach Beispiel 9.12 die Reihe der Kehrwerte der Quadrate konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch diese Reihe.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion, die abzählbar viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Lösung

Wir nehmen an, dass die Funktion nicht konstant ist. Dann gibt es mit

Aufgrund des Zwischenwertsatzes wird jede reelle Zahl aus dem Intervall zwischen und angenommen. Jedes echte reelle Intervall besitzt aber überabzählbar viele Elemente, und so kann das Bild nicht abzählbar sein.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion

mit der Eigenschaft, dass die Funktion differenzierbar ist.


Lösung

Wir betrachten

Diese Funktion ist offenbar stetig und in nicht differenzierbar. Dagegen ist für alle und somit differenzierbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die -fache Hintereinanderschaltung ()

die Beziehung

gilt.


Lösung

Der Induktionsanfang für ist gesichert wegen

Sei die Aussage für die -te Hintereinanderschaltung schon bewiesen. Dann gilt unter Verwendung der Kettenregel (mit als äußerer und als innerer Funktion) und der Induktionsvoraussetzung die Beziehung

was die Aussage beweist.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Lösung

Die Aussage ist für richtig. Als Induktionsvoraussetzung können wir

annehmen. Dann ist

was die Aussage für bedeutet.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Lösung

a) Es ist

b) Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).


Lösung

Eine lineare Funktion wird durch mit beschrieben. Eine lineare Funktion, die im Punkt tangential zu ist, muss und erfüllen. Daraus ergibt sich die Bedingung

bzw.

Also ist oder . Daher gibt es zwei Tangenten an , die lineare Funktionen sind, nämlich und .


Aufgabe (5 Punkte)

Ein Dreieck soll die Grundseite und die Höhe besitzen (). Für welchen Höhenfußpunkt besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?


Lösung

Wenn der (neben und ) dritte Eckpunkt des Dreieckes ist, so ist der Umfang gleich

Wir müssen also die Funktion

minimieren. Da positiv ist, ist diese Funktion differenzierbar, und zwar ist

Die Bedingung führt auf

bzw. auf

Quadrieren führt auf

und dies auf

und somit ist

und daher (der Fall ist ausgeschlossen)

und somit

Dies muss ein Minimum sein, da für der Umfang gegen strebt. Der minimale Umfang ist daher