Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/14/Klausur

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Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Eine Cauchy-Folge in .
  3. Der natürliche Logarithmus
  4. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
  5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name
  4. /Fakt/Name


Aufgabe * (3 Punkte)

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?


Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus folgt “.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn

gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine gegen konvergente reelle Folge. Es sei

eine bijektive Abbildung. Zeige, dass auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Potenzmenge und die Menge der Abbildungen gleichmächtig sind.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Zeige, dass gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Es sei und .

a) Bestimme die Ableitung von und von .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung .

c) Bestimme die Ableitung von direkt.

d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel für . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von und und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von und der Wurzel von .


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).


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