Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Eine Cauchy-Folge in .
  3. Der natürliche Logarithmus
  4. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
  5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.


Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Eine Cauchy-Folge in .
  3. Der natürliche Logarithmus
  4. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
  5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name
  4. /Fakt/Name


Lösung Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung


Aufgabe * (3 Punkte)

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

Lösung

Die Anteile stimmen überein. Die Weinmenge sei jeweils zu normiert und die Größe des kleineren Glases sei . Nach dem ersten Umfüllen befindet sich im Rotweinglas Rotwein (und kein Weißwein) und im Weißweinglas Weißwein und Rotwein. Im Weißweinglas beträgt der Weißweinanteil und der Rotweinanteil . Daher wird beim zweiten Umfüllen Weißwein und Rotwein transportiert. Der Weißweinanteil im Weißweinglas ist somit zum Schluss

und der Rotweinanteil im Rotweinglas ist


 


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus folgt “.


Lösung

Man möchte zeigen, dass aus einer Aussage eine weitere Aussage folgt. Beim Beweis durch Widerspruch nimmt man an, dass gleichzeitig und nicht gelten. Unter diesen Voraussetzungen zeigt man, dass sich ein Widerspruch ergibt. Dies bedeutet, dass und nicht nicht gleichzeitig gelten können, was eben die Implikation bedeutet.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Lösung

Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn

gilt.


Lösung

Wegen ist nach Aufgabe 4.10 auch . Aus folgt daher durch Multiplikation mit die Beziehung . Wenn umgekehrt gilt, so folgt durch Multiplikation mit die Beziehung .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine gegen konvergente reelle Folge. Es sei

eine bijektive Abbildung. Zeige, dass auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Lösung

Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Ausgangsfolge gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

gilt. Das Urbild von unter der bijektiven Abbildung ist endlich. Es sei eine Zahl, die größer als all diese Zahlen ist. Dann gilt für die Beziehung , und somit ist für diese auch


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Potenzmenge und die Menge der Abbildungen gleichmächtig sind.

Lösung

Die Potenzmenge steht in Bijektion zur Abbildungsmenge durch die Zuordnung . Daher ist

Wegen der Gleichmächtigkeit von zu folgt die Gleichmächtigkeit der Mengen


 

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.

Lösung

Sei . Dann ist wegen

auch . Wegen

ist . Wegen

ist

von verschieden. Wegen

ist positiv. Wir vergleichen mit . Für stimmen die beiden Funktionen überein. Für ist aufgrund der Funktionalgleichung

Für ist wegen

also gilt die Gleichheit für . Für mit gilt wegen

und der eindeutigen Existenz von -ten Wurzeln

Daraus folgt über die Beziehung

auch die Übereinstimmung für negative rationale Argumente. Da nach Voraussetzung stetig ist und da stetig ist, und da es zu jeder reellen Zahl eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen konvergiert, müssen die beiden Funktionen nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit übereinstimmen.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Zeige, dass gleichmäßig stetig ist.

Lösung

Sei vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein mit für alle und alle . Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von gibt es ein mit für alle mit . Für diese gilt somit


 

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Es sei und .

a) Bestimme die Ableitung von und von .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung .

c) Bestimme die Ableitung von direkt.

d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.

Lösung

a) Nach der Quotientenregel ist

und

b) Es ist

c) Die Ableitung von

ist

d) Es ist


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel für . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von und und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von und der Wurzel von .

Lösung

Es ist

Der Durchschnittswert ist also

Das arithmetische Mittel von und ist , die Wurzel davon ist . Wegen

ist

Die Quadratwurzeln von bzw. sind bzw. und das arithmetische Mittel davon ist . Wegen

ist dies kleiner als . Insgesamt gilt also


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Lösung

Aufgrund des Mittelwertsatz der Integralrechnung, angewendet auf die Ableitung , gibt es ein mit

Division durch liefert den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


 

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