Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/15/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Die komplexe Konjugation.
  3. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge .
  4. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  5. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

    auf einer Teilmenge .

  6. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe .
  3. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel), (mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Konvergenzverhalten der durch

gegebenen Folge.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent.


Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass eine stetige Funktion

gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion ohne Nullstelle. Bestimme die Ableitung von für .


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der natürliche Logarithmus eine konkave Funktion ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion für ().


Aufgabe * (8 (1+4+3) Punkte)

Es sei . Bestimme Polynome vom Grad , die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) stimmt mit an den Stellen überein.

(b) stimmt mit in und in bis zur ersten Ableitung überein.

(c) stimmt mit in bis zur dritten Ableitung überein.


Aufgabe * (2 Punkte)

Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen

eine Stammfunktion zu finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu und zu miteinander multipliziert.

„Es sei eine Stammfunktion zu und eine Stammfunktion zu , die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von und möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, so dass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit eine Stammfunktion von . Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass

eine Stammfunktion von

ist.“


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

unter Verwendung der Zerlegung


Aufgabe * (9 (3+3+3) Punkte)

a) Es sei

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. für alle . Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

injektiv ist.

b) Sei nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.


Zur pdf-Version der Klausur

Zur pdf-Version der Lösungen