Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/16/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 6 4 4 3 5 6 6 7 4 5 8 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .
  2. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  3. Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  4. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  5. Die Potenzreihe in zu den Koeffizienten , .
  6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
  3. Der Satz über partielle Integration.


Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der Gaußklammer , die bei gegebenem aus die Prozentzahl berechnet.

b) Für welche ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei . Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei . Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei . Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.


Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Untersuche die Funktionenfolge

mit

auf

a) punktweise Konvergenz und auf

b) gleichmäßige Konvergenz.


Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei jeweils tangential schneidet.

b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.


Aufgabe * (7 (1+1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von .

b) Skizziere für zwischen und .

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von .

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung von im Punkt .


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei

eine periodische Funktion mit der Periode .

a) Es sei differenzierbar. Zeige, dass die Ableitung ebenfalls periodisch mit der Periode ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, stetigen Funktion , deren Stammfunktion nicht periodisch ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei

eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

und es sei

eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall .


a) Drücke die zweite Ableitung von mit und aus.

b) Drücke die dritte Ableitung von mit und aus.

c) Zeige, dass die -te Ableitung von die Form

mit gewissen Zahlen für jedes -Tupel mit besitzt.

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