Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/16/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 6 4 4 3 5 6 6 7 4 5 8 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .
  2. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  3. Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  4. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  5. Die Potenzreihe in zu den Koeffizienten , .
  6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung


Lösung

  1. Der Betrag von ist folgendermaßen definiert.
  2. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  3. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein gibt derart, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.

  4. Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch
  5. Die Potenzreihe in ist die Reihe
  6. Die gewöhnliche Differentialgleichung

    heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also gilt mit einer Funktion in der einen Variablen .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
  3. Der Satz über partielle Integration.


Lösung

  1. Jede nichtleere [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|nach oben beschränkte]] Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in .
  2. Für [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|komplexe Zahlen]] gilt
  3. Es seien

    [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|stetig differenzierbare]] Funktionen. Dann gilt


Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der Gaußklammer , die bei gegebenem aus die Prozentzahl berechnet.

b) Für welche ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei . Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei . Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei . Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?


Lösung

a) Die ganze Prozentzahl wird bei Ja-Antworten von Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch

berechnet.

b) Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens erhöht. Für ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens erhöht.

c) Die Prozentzahl kommt nicht vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis

(wegen ).

d) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis

(wegen ).

e) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis ebenfalls

(wegen ). Wegen der Symmetrie der Situation (bis auf die Rundung) kommt auch die Prozentzahl doppelt vor, für .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 5.8 insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für . Für diese Zahlen gilt daher


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Lösung

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Lösung

Wir betrachten

Diese Funktion ist nach Fakt ***** wieder stetig und es ist

und

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein mit

also ist


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.


Lösung


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Untersuche die Funktionenfolge

mit

auf

a) punktweise Konvergenz und auf

b) gleichmäßige Konvergenz.


Lösung

Es ist

Für jedes konvergiert die Folge gegen , da ja

gegen konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion konvergiert somit die Ausgangsfolge gegen . Es liegt also punktweise Konvergenz mit der Identität als Grenzfunktion vor.

b) Es liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Beispielsweise gibt es zu kein mit

für alle und alle Zu kann man nämlich betrachten und erhält

(für den letzten Schritt sei ).


Aufgabe (6 (4+2) Punkte)

a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei jeweils tangential schneidet.

b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.


Lösung

a) Das gesuchte Polynom sei

Dann ist

Die Bedingung, dass der Graph zu die Diagonale und die Gegendiagonale bei schneidet, bedeutet

Die Steigung der Diagonale ist . Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies

Die Steigung der Gegendiagonale ist . Dies bedeutet somit

Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt

und somit

Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung

Das gesuchte Polynom ist also

b) Für ist zu zeigen, dass und für ist zu zeigen, dass ist. Im ersten Fall ist

und im zweiten Fall ist


Aufgabe (7 (1+1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von .

b) Skizziere für zwischen und .

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von .

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung von im Punkt .


Lösung

a) Es ist

genau dann, wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Der Definitionsbereich ist also .

b)

c) Nach der Quotientenregel ist

Weiterhin ist

und

d) Wegen und ist

und

daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung gleich


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei

eine periodische Funktion mit der Periode .

a) Es sei differenzierbar. Zeige, dass die Ableitung ebenfalls periodisch mit der Periode ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, stetigen Funktion , deren Stammfunktion nicht periodisch ist.


Lösung

a) Es ist

daher ist die Ableitung periodisch mit Periodenlänge .

b) Wir betrachten

Diese Funktion ist periodisch mit der Periodenlänge . Die Stammfunktion ist nach Satz 19.5 streng wachsend, also nicht periodisch.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Lösung

Wir führen die Substitution durch und müssen dann für

eine Stammfunktion finden (). Division mit Rest ergibt

Die Partialbruchzerlegung für

führt auf

und auf

Also ist

Daher ist

Eine Stammfunktion davon ist

Rüchsubstitution ergibt für die Stammfunktion


Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei

eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

und es sei

eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall .


a) Drücke die zweite Ableitung von mit und aus.

b) Drücke die dritte Ableitung von mit und aus.

c) Zeige, dass die -te Ableitung von die Form

mit gewissen Zahlen für jedes -Tupel mit besitzt.


Lösung

a) Es ist

da es sich um eine Lösung handelt. Die rechte Seite ist differenzierbar, da und differenzierbar sind, und nach der Kettenregel ist somit

b) Da beliebig oft differenzierbar ist, ist

differenzierbar, und es ist

c) Wir führen Induktion nach . Die Aussage ist für richtig nach Teil a) und b), der Induktionsanfang ist also gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes von nach können wir von einer Darstellung

ausgehen. Dies zeigt zunächst, dass auch -mal ableitbar ist. Zur Berechnung der Form der Ableitung genügt es, einen Summanden der Form

zu betrachten. Die Ableitung davon ist nach der Ketten- und der Produktregel gleich

Dabei erhöht sich die höchste Ableitungs von , die vorkommt, auf , die Potenzen von erhöhen sich maximal um und die Koeffizienten sind nach wie vor aus . Daher liegt insgesamt wieder eine Form wie beschrieben vor.

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