Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/16/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 6 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 6 }

\renewcommand{\aneun}{ 6 }

\renewcommand{\azehn}{ 7 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 64 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehn}{ }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelledreizehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Betrag} {} eines Elementes $x$ in einem angeordneten Körper $K$.

}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} über einem Körper $K$.

}{Ein \stichwort {lokales Minimum} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {D} {\R } {} \zusatzklammer {\mathlk{D \subseteq \R}{} eine Teilmenge} {} {} in einem Punkt
\mathl{x \in D}{.}

}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.}

}{Die \stichwort {Potenzreihe} {} in $z \in {\mathbb C}$ zu den Koeffizienten
\mathbed {c_n \in {\mathbb C}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}

}{Die \stichwort {Zeitunabhängigkeit} {} einer \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}

}
{

\aufzaehlungsechs{Der Betrag von
\mathl{x}{} ist folgendermaßen definiert.
\mathdisp {\betrag { x } = \begin{cases} x \text{ falls } x \geq 0 \\ -x \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases}} { }
}{Der Grad eines von
\mathl{0}{} verschiedenen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a_n \neq 0}{} ist $n$. }{Man sagt, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x' }
{ \in }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' } }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ \leq} { f(x') }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Es sei $s$ die eindeutig bestimmte \definitionsverweis {reelle}{}{} \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} auf dem \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{.} Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi }
{ \defeq} { 2s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Potenzreihe in $z$ ist die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { . }
}{Die \definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { }
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also
\mathl{f(t,y)=h(y)}{} gilt mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$. }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {} von $\R$.}{Die \stichwort {Funktionalgleichung} {} der komplexen Exponentialfunktion.}{Der Satz über \stichwort {partielle Integration} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in $\R$.}{Für komplexe Zahlen
\mathl{z,w \in {\mathbb C}}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( z+w \right) }
{ =} { \exp z \cdot \exp w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {}stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(t)g'(t) \, d t = fg | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } f'(t)g(t) \, d t} { . }
}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis \zusatzklammer {die Ja-Antworten} {} {} in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab
\mathl{,5}{} nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} $\lfloor \, \, \rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl
\mathl{p(i)}{} berechnet.

b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei
\mathl{n=99}{.} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei
\mathl{n=101}{.} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei
\mathl{n=102}{.} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

}
{

a) Die ganze Prozentzahl wird bei $i$ Ja-Antworten von $n$ Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p(i) }
{ =} {\left\lfloor 100 \cdot { \frac{ i }{ n } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} berechnet.

b) Für
\mathl{n \leq 99}{} ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als $1$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens $1$ erhöht. Für
\mathl{n=100}{} ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für
\mathl{n \geq 101}{} ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als $1$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens $1$ erhöht.

c) Die Prozentzahl $50$ kommt nicht vor. Für
\mathl{i=49}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 49 }{ 99 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 9800 + 99 }{ 198 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 9899 }{ 198 } } \right \rfloor }
{ =} {49 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{198 \cdot 50 }
{ = }{9900 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und für
\mathl{i=50}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 50 }{ 99 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10000 + 99 }{ 198 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10099 }{ 198 } } \right \rfloor }
{ =} {51 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{198 \cdot 51 }
{ = }{10098 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

d) Die Prozentzahl $50$ kommt doppelt vor. Für
\mathl{i=50}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 50 }{ 101 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10000 + 101 }{ 202 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10101 }{ 202 } } \right \rfloor }
{ =} {50 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{202 \cdot 50 }
{ = }{10100 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und für
\mathl{i=51}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 51 }{ 101 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10200 + 101 }{ 202 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10301 }{ 202 } } \right \rfloor }
{ =} {50 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{202 \cdot 51 }
{ = }{10302 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

e) Die Prozentzahl $25$ kommt doppelt vor. Für
\mathl{i=25}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 25 }{ 102 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2500 + 51 }{ 102 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2551 }{ 102 } } \right \rfloor }
{ =} {25 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{102 \cdot 25 }
{ = }{2550 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und für
\mathl{i=26}{} ist das Ergebnis ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 26 }{ 102 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2600 + 51 }{ 102 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2651 }{ 102 } } \right \rfloor }
{ =} {25 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{102 \cdot 26 }
{ = }{2652 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} Wegen der Symmetrie der Situation \zusatzklammer {bis auf die Rundung} {} {} kommt auch die Prozentzahl $75$ doppelt vor, für
\mathl{i=76,77}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} in $K$. Zeige, dass die Produktfolge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) } }
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Die konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} ist nach Lemma 5.8 insbesondere \definitionsverweis {beschränkt}{}{} und daher existiert ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n } }
{ \leq }{ D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei \mathkor {} {x \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} x_n} {und} {y \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n} {.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \defeq }{\max \{D, \betrag { y } \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen \mathkor {} {N_1} {und} {N_2} {} mit
\mathdisp {\betrag { x_n -x } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_1 \text{ und } \betrag { y_n -y } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_2} { . }
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{N }
{ \defeq }{ \max\{N_1,N_2\} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für diese Zahlen gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_ny_n -xy } }
{ =} {\betrag { x_ny_n-x_ny+x_n y-xy } }
{ \leq} {\betrag { x_ny_n-x_ny } + \betrag { x_ny-xy } }
{ =} {\betrag { x_n } \betrag { y_n-y } + \betrag { y } \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {C \frac{ \epsilon}{2C} + C \frac{ \epsilon}{2C} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\epsilon }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.

}
{

Wenn $P$ ein Vielfaches von
\mathl{X-a}{} ist, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {(X-a)Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a) }
{ =} { (a-a)Q(a) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { (X-a)Q +R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder aber den Grad $0$ besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a) }
{ =} { R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so muss der Rest
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein, und das bedeutet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (X-a)Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a) }
{ \geq }{g(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b) }
{ \leq }{g(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen Punkt
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c) }
{ = }{g(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{

Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x) }
{ \defeq} {f(x) -g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Funktion ist nach Fakt ***** wieder stetig und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(a) }
{ =} {f(a) -g(a) }
{ \geq} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(b) }
{ =} {f(b) - g(b) }
{ \leq} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(c) }
{ =} {0 }
{ =} {f(c) -g(c) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(c) }
{ =} {g(c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.

}
{

}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (3+3)}
{

Untersuche die Funktionenfolge \maabbeledisp {} {\R_{> 0}} { \R } {x} {f_n(x) } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x) }
{ =} { x^{ { \frac{ n }{ n+1 } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf

a) punktweise Konvergenz und auf

b) gleichmäßige Konvergenz.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{ { \frac{ n }{ n+1 } } } }
{ =} { e^{ { \frac{ n }{ n+1 } } \ln x } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für jedes
\mathl{x \in \R_{>0}}{} konvergiert die Folge
\mathl{{ \frac{ n }{ n+1 } } \ln x}{} gegen $\ln x$, da ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n }{ n+1 } } }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 1 + { \frac{ 1 }{ n } } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegen $1$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion konvergiert somit die Ausgangsfolge
\mathl{x^{ { \frac{ n }{ n+1 } } }}{} gegen $x$. Es liegt also punktweise Konvergenz mit der Identität als Grenzfunktion vor.

b) Es liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. Beispielsweise gibt es zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kein $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { f_n(x)-x } }
{ \leq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $x$ und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Zu $n$ kann man nämlich
\mathl{x=2^{n+1}}{} betrachten und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f_n(2^{n+1})- 2^{n+1} } }
{ =} { \betrag { { \left( 2^{n+1} \right) }^{ { \frac{ n }{ n+1 } } }- 2^{n+1} } }
{ =} { \betrag { 2^n - 2^{n+1} } }
{ =} { 2^n }
{ >} {1 }
} {} {}{} \zusatzklammer {für den letzten Schritt sei
\mathl{n \geq 1}{}} {} {.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (4+2)}
{

a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} jeweils tangential schneidet.

b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.

}
{

a) Das gesuchte Polynom sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { ax^2+bx+c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} {2ax+b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Bedingung, dass der Graph zu $f$ die Diagonale und die Gegendiagonale bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schneidet, bedeutet
\mathdisp {a+b+c=1 \text{ und } a-b+c=1} { . }
Die Steigung der Diagonale ist $1$. Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2a+b }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Steigung der Gegendiagonale ist $-1$. Dies bedeutet somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2a+b }
{ =} {-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus ergibt sich mit der ersten \zusatzklammer {oder der zweiten} {} {} Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das gesuchte Polynom ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Für
\mathl{x \geq 0}{} ist zu zeigen, dass
\mathl{P(x)= { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \geq x}{} und für
\mathl{x \leq 0}{} ist zu zeigen, dass
\mathl{P(x) \geq -x}{} ist. Im ersten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)-x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } -x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x^2 -2x +1 \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x-1 \right) }^2 }
{ \geq} {0 }
} {}{}{} und im zweiten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)-x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } +x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x^2 +2x +1 \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x+1 \right) }^2 }
{ \geq} {0 }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{7 (1+1+3+2)}
{

Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sin x } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von $f$.

b) Skizziere $f$ für $x$ zwischen \mathkor {} {-2 \pi} {und} {2 \pi} {.}

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f$.

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ von $f$ im Punkt ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$.

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin x }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann, wenn $x$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist. Der Definitionsbereich ist also
\mathl{\R \setminus \Z \pi}{.}

b)

c) Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime} (x) }
{ =} { { \frac{ - \cos x }{ \sin^{ 2 } x } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Weiterhin ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime} (x) }
{ =} { { \frac{ \sin^{ 3 } x +2 \sin x \cos^{ 2 } x }{ \sin^{ 4 } x } } }
{ =} {{ \frac{ \sin^{ 2 } x +2 \cos^{ 2 } x }{ \sin^{ 3 } x } } }
{ =} {{ \frac{ 1+ \cos^{ 2 } x }{ \sin^{ 3 } x } } }
{ } { }
} {} {}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime \prime} (x) }
{ =} { { \frac{ 2 \cos x { \left( - \sin x \right) } \sin^{ 3 } x -3 { \left( 1+ \cos^{ 2 } x \right) } \sin^{ 2 } x \cos x }{ \sin^{ 6 } x } } }
{ =} { \cos x { \frac{ -2 \sin^{ 2 } x -3 { \left( 1+ \cos^{ 2 } x \right) } }{ \sin^{ 4 } x } } }
{ =} {\cos x { \frac{ -5 - \cos^{ 2 } x }{ \sin^{ 4 } x } } }
{ } { }
} {} {}{}

d) Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}


\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime } { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime \prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ gleich
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^2} { . }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} mit der Periode $L>0$.

a) Es sei $f$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} Zeige, dass die Ableitung $f'$ ebenfalls periodisch mit der Periode $L$ ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {,} deren \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} nicht periodisch ist.

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x+L) }
{ =} { \operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, { \frac{ f(x+L+h) -f(x+L) }{ h } } }
{ =} { \operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, { \frac{ f(x+h) -f(x) }{ h } } }
{ =} { f'(x) }
{ } { }
} {}{}{,} daher ist die Ableitung periodisch mit Periodenlänge $L$.

b) Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { 2 + \sin x }
{ >} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Funktion ist periodisch mit der Periodenlänge
\mathl{2 \pi}{.} Die Stammfunktion ist nach Satz 19.5 streng wachsend, also nicht periodisch.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_{>0}} { \R } {x} {{ \frac{ e^{3x} }{ e^x-e^{-x} } } } {.}

}
{

Wir führen die Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ \ln t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch und müssen dann für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(t) }
{ =} { { \frac{ t^3 }{ t -t^{-1} } } \cdot { \frac{ 1 }{ t } } }
{ =} { { \frac{ t^3 }{ t^2 -1 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Stammfunktion finden \zusatzklammer {\mathlk{t >1}{}} {} {.} Division mit Rest ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t^3 }
{ =} {(t^2-1)t +t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Partialbruchzerlegung für
\mathdisp {{ \frac{ t }{ t^2 -1 } }} { }
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ t }{ t^2 -1 } } }
{ =} { { \frac{ a }{ t -1 } } + { \frac{ b }{ t+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t }
{ =} { a(t+1) + b(t-1) }
{ =} { (a+b)t +a-b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {b }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(t) }
{ =} {t + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ t -1 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ t+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Eine Stammfunktion davon ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( t-1 \right) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( t+1 \right)} { . }
Rüchsubstitution ergibt für
\mathl{f(x)}{} die Stammfunktion
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } e^{2x} + { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( e^x-1 \right) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( e^x+1 \right)} { . }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{8 (2+2+4)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {h(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion \maabbdisp {h} {\R} {\R } {} und es sei \maabbdisp {y} {I} {\R } {} eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall $I$.


a) Drücke die zweite Ableitung von $y$ mit
\mathl{h,h'}{} und $y$ aus.

b) Drücke die dritte Ableitung von $y$ mit
\mathl{h,h',h^{\prime \prime}}{} und $y$ aus.

c) Zeige, dass die $n$-te Ableitung von $y$ die Form
\mathdisp {{ \left( \sum_{ \nu } a_{ \nu } { \left( \prod_{j = 0}^{n-1} { \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j} \right) } \right) } \circ y} { }
mit gewissen Zahlen
\mathl{a_{\nu} \in \N}{} für jedes $n$-Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\nu }
{ = }{(\nu_0 , \ldots , \nu_{n-1}) }
{ \in }{ \N^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{\nu_j \leq n-1}{} besitzt.

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'(t) }
{ =} {h(y(t)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da es sich um eine Lösung handelt. Die rechte Seite ist differenzierbar, da \mathkor {} {h} {und} {y} {} differenzierbar sind, und nach der Kettenregel ist somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y^{\prime \prime} (t) }
{ =} { { \left( h(y(t)) \right) }' }
{ =} { h' (y(t)) y'(t) }
{ =} { h' (y(t)) h (y(t)) }
{ =} { { \left( h' h \right) } ( y(t)) }
} {} {}{.}

b) Da $h$ beliebig oft differenzierbar ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} }
{ =} { { \left( h' h \right) } \circ y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} differenzierbar, und es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y^{\prime \prime \prime} (t) }
{ =} { { \left( { \left( h' h \right) } ( y(t)) \right) }' }
{ =} { { \left( h^{\prime \prime}( y(t)) h ( y(t))+ h^\prime ( y(t)) h^\prime ( y(t)) \right) } \cdot y'(t) }
{ =} { { \left( h^{\prime \prime}( y(t)) h ( y(t))+ h^\prime ( y(t)) h^\prime ( y(t)) \right) } \cdot h(y(t)) }
{ =} { h^{\prime \prime}( y(t)) h ( y(t)) h(y(t)) + h^\prime ( y(t)) h^\prime ( y(t)) h(y(t)) }
} {} {}{.}

c) Wir führen Induktion nach $n$. Die Aussage ist für
\mathl{n=1,2,3}{} richtig nach Teil a) und b), der Induktionsanfang ist also gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes von $n$ nach
\mathl{n+1}{} können wir von einer Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)} }
{ =} { { \left( \sum_{ \nu } a_{ \nu } { \left( \prod_{j = 0}^{n-1} { \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j} \right) } \right) } \circ y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ausgehen. Dies zeigt zunächst, dass $y$ auch
\mathl{(n+1)}{-}mal ableitbar ist. Zur Berechnung der Form der Ableitung genügt es, einen Summanden der Form
\mathdisp {{ \left( \prod_{j = 0}^{n-1} { \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j} \right) } \circ y} { }
zu betrachten. Die Ableitung davon ist nach der Ketten- und der Produktregel gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \left( \prod_{j = 0}^{n-1} { \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j} \right) }' \circ y \right) } \cdot y' }
{ =} { { \left( { \left( \sum_{j = 0}^{n-1} \nu_j { \left( \prod_{j = 0}^{n-1}{ \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j -1} h^{(j+1)} \right) } \right) } \circ y\right) } \cdot y' }
{ =} { { \left( { \left(\sum_{j = 0}^{n-1} \nu_j { \left( \prod_{j = 0}^{n-1}{ \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j -1} h^{(j+1)} \right) } \right) } \circ y\right) } \cdot { \left( h \circ y \right) } }
{ =} { { \left(\sum_{j = 0}^{n-1} \nu_j { \left( \prod_{j = 0}^{n-1}{ \left( h^{(j)} \right) }^{ \nu_j -1} h^{(j+1)} h \right) } \right) } \circ y }
{ } { }
} {} {}{.} Dabei erhöht sich die höchste Ableitungs von $h$, die vorkommt, auf $n$, die Potenzen von $h^{(j)}$ erhöhen sich maximal um $1$ und die Koeffizienten sind nach wie vor aus $\N$. Daher liegt insgesamt wieder eine Form wie beschrieben vor.

}

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