Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/17/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 1 4 2 3 2 0 4 0 6 0 0 8 0 38



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Körper der reellen Zahlen.
  2. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  3. Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  4. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  5. Die Potenzreihe in zu den Koeffizienten , .
  6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Aufgabe * (2 Punkte)

Im September besteht die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Chile Stunden (in Chile wird es Stunden später hell). Anfang Oktober wird in Deutschland die Uhr von der Sommerzeit auf die Winterzeit umgestellt, die Uhr wird also um eine Stunde nachts von auf zurückgestellt. In der gleichen Nacht wird die Uhr in Chile umgestellt. Wie groß ist die Zeitdifferenz nach der Umstellung?


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das kommutative Diagramm

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

Es seien und bijektiv.

  1. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn injektiv ist.
  2. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn surjektiv ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

keine rationale Funktion ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 (1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Skizziere .

b) Bestimme die Ableitung von .

c) Bestimme die zweite Ableitung von .

d) Untersuche auf Extrema, Monotonieverhalten und Wendepunkte.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (8 (2+5+1) Punkte)

Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

zu einem Punkt .

  1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

    mit einem .

  2. Es sei in differenzierbar. Zeige
  3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).


Aufgabe (0 Punkte)