Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/17/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 5 | 4 | 0 | 6 | 4 | 0 | 8 | 0 | 47 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der Körper der reellen Zahlen.
- Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
- Ein lokales Minimum einer Funktion
( eine Teilmenge) in einem Punkt .
- Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
- Die Potenzreihe in zu den Koeffizienten , .
- Die
Zeitunabhängigkeit
einer
gewöhnlichen Differentialgleichung
- Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.
- Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit ist .
- Man sagt, dass in
ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
- Es sei die
eindeutig bestimmte
reelle
Nullstelle
der
Kosinusfunktion
auf dem
Intervall
. Die Kreiszahl ist definiert durch
- Die Potenzreihe in ist die
Reihe
- Die
gewöhnliche Differentialgleichung
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also gilt mit einer Funktion in der einen Variablen .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
Lösung Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (2 Punkte)
Im September besteht die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Chile Stunden (in Chile wird es Stunden später hell). Anfang Oktober wird in Deutschland die Uhr von der Sommerzeit auf die Winterzeit umgestellt, die Uhr wird also um eine Stunde nachts von auf zurückgestellt. In der gleichen Nacht wird die Uhr in Chile umgestellt. Wie groß ist die Zeitdifferenz nach der Umstellung?
Da Chile auf der Südhalbkugel liegt, wird dort Anfang Oktober von der dortigen Winterzeit auf die dortige Sommerzeit umgestellt, dort wird also die Uhr vorgestellt. Daher beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Chile nur noch Stunden.
Aufgabe (1 Punkt)
Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach
nehmen, wobei eine nichtleere Menge sei. Dann ist und somit ist einerseits
und andererseits
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten das kommutative Diagramm
von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt
Es seien und bijektiv.
- Sei injektiv, es ist zu zeigen, dass auch injektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist
Somit ist als Verknüpfung von drei injektiven Abbildungen wieder injektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.
- Sei surjektiv, es ist zu zeigen, dass auch surjektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist
Somit ist als Verknüpfung von drei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.
Aufgabe (2 Punkte)
Berechne
Nach dem binomischen Lehrsatz ist
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.
Sei die konvergente Folge mit Grenzwert . Sei gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf an. Daher gibt es ein mit
Für beliebige gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.
Die beiden Schnittpunkte seien und mit . Es ist also und . Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein mit
Der Graph der Ableitung schneidet also im Punkt die beschriebene Gerade.
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
Die Ableitung der Funktion ist
Man sieht direkt, dass eine Nullstelle der Ableitung ist, und es ergibt sich die Faktorzerlegung
weshalb bei eine weitere Nullstelle vorliegt. Die zweite Ableitung ist
Diese hat bei einen positiven Wert, so dass dort ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert
vorliegt. Wegen
liegt in ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert
An den Intervallgrenzen hat die Funktion die Werte
bzw.
Daher liegt am linken Rand das absolute Minimum und am rechten Rand das absolute Maximum vor.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion
keine rationale Funktion ist.
Nehmen wir an, es gelte
mit Polynomen , . Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion. Es muss also
gelten. Damit ist auch
Es sei ( ist nicht möglich) und . Beim Ableiten reduziert sich der Grad eines Polynoms um . Der Grad rechts ist somit und links , es liegt also ein Widerspruch vor.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (6 (1+1+1+3) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
a) Skizziere .
b) Bestimme die Ableitung von .
c) Bestimme die zweite Ableitung von .
d) Untersuche auf Extrema, Monotonieverhalten und Wendepunkte.
a) Skizze.
b) Es ist
c) Es ist
d) Wegen ist und daher ist die Funktion streng fallend und besitzt im offenen Einheitsintervall keine Extrema. Der Nenner von ist stets negativ. Für den Zähler gilt
genau dann, wenn
Für ist die zweite Ableitung negativ und für
ist die zweite Ableitung positiv. Daher liegt bei ein Wendepunkt vor.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
Wir verwenden partielle Integration und leiten den linken Faktor ab, das ergibt und nehmen für den rechten Faktor die Stammfunktion . Das ergibt
Das rechte Integral ist
Eine Stammfunktion ist somit
was man durch ableiten bestätigt (deshalb mussten wir uns oben keine Gedanken über die Integrationsgrenzen machen).
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (8 (2+5+1) Punkte)
Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes
zu einem Punkt .
- Bestimme diesen Limes für die Funktion
mit einem .
- Es sei in
differenzierbar.
Zeige
- Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).
- Unter Verwendung von Rechenregeln für Exponentialfunktionen ist
Da dies unabhängig von ist, ist auch der Limes für gleich .
- Wir betrachten den natürlichen Logarithmus des funktionalen Ausdrucks, also
Dies ist der Differenzenquotient zur Funktion im Punkt . Da differenzierbar ist, ist auch diese Verknüpfung differenzierbar mit der Ableitung
Somit ist
und insbesondere existiert der Limes links. Da die Exponentialfunktion stetig ist, folgt daraus
- Für
ist die Ableitung gleich . Somit ist
die Exponentialfunktion davon ist in der Tat gleich .