Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/17/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 1 4 2 3 2 5 4 0 6 4 0 8 0 47




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Körper der reellen Zahlen.
  2. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  3. Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  4. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  5. Die Potenzreihe in zu den Koeffizienten , .
  6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung


Lösung

  1. Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.
  2. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  3. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.

  4. Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch
  5. Die Potenzreihe in ist die Reihe
  6. Die gewöhnliche Differentialgleichung

    heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also gilt mit einer Funktion in der einen Variablen .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Im September besteht die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Chile Stunden (in Chile wird es Stunden später hell). Anfang Oktober wird in Deutschland die Uhr von der Sommerzeit auf die Winterzeit umgestellt, die Uhr wird also um eine Stunde nachts von auf zurückgestellt. In der gleichen Nacht wird die Uhr in Chile umgestellt. Wie groß ist die Zeitdifferenz nach der Umstellung?


Lösung

Da Chile auf der Südhalbkugel liegt, wird dort Anfang Oktober von der dortigen Winterzeit auf die dortige Sommerzeit umgestellt, dort wird also die Uhr vorgestellt. Daher beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Chile nur noch Stunden.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Lösung

Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach

nehmen, wobei eine nichtleere Menge sei. Dann ist und somit ist einerseits

und andererseits


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das kommutative Diagramm

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

Es seien und bijektiv.

  1. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn injektiv ist.
  2. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn surjektiv ist.


Lösung

  1. Sei injektiv, es ist zu zeigen, dass auch injektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist

    Somit ist als Verknüpfung von drei injektiven Abbildungen wieder injektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.

  2. Sei surjektiv, es ist zu zeigen, dass auch surjektiv ist. Aufgrund der Kommutativität des Diagramms und der Bijektivität von ist

    Somit ist als Verknüpfung von drei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv. Wenn man im Diagramm und durch ihre Umkehrabbildungen ersetzt, so sieht man, dass auch die andere Implikation gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Nach dem binomischen Lehrsatz ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.


Lösung

Sei die konvergente Folge mit Grenzwert . Sei gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf an. Daher gibt es ein mit

Für beliebige gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.


Lösung

Die beiden Schnittpunkte seien und mit . Es ist also und . Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein mit

Der Graph der Ableitung schneidet also im Punkt die beschriebene Gerade.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Lösung

Die Ableitung der Funktion ist

Man sieht direkt, dass eine Nullstelle der Ableitung ist, und es ergibt sich die Faktorzerlegung

weshalb bei eine weitere Nullstelle vorliegt. Die zweite Ableitung ist

Diese hat bei einen positiven Wert, so dass dort ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert

vorliegt. Wegen

liegt in ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert

An den Intervallgrenzen hat die Funktion die Werte

bzw.

Daher liegt am linken Rand das absolute Minimum und am rechten Rand das absolute Maximum vor.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

keine rationale Funktion ist.


Lösung

Nehmen wir an, es gelte

mit Polynomen , . Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion. Es muss also

gelten. Damit ist auch

Es sei ( ist nicht möglich) und . Beim Ableiten reduziert sich der Grad eines Polynoms um . Der Grad rechts ist somit und links , es liegt also ein Widerspruch vor.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 (1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Skizziere .

b) Bestimme die Ableitung von .

c) Bestimme die zweite Ableitung von .

d) Untersuche auf Extrema, Monotonieverhalten und Wendepunkte.


Lösung

a) Skizze.

b) Es ist

c) Es ist

d) Wegen ist und daher ist die Funktion streng fallend und besitzt im offenen Einheitsintervall keine Extrema. Der Nenner von ist stets negativ. Für den Zähler gilt

genau dann, wenn

Für ist die zweite Ableitung negativ und für

ist die zweite Ableitung positiv. Daher liegt bei ein Wendepunkt vor.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Lösung

Wir verwenden partielle Integration und leiten den linken Faktor ab, das ergibt und nehmen für den rechten Faktor die Stammfunktion . Das ergibt

Das rechte Integral ist

Eine Stammfunktion ist somit

was man durch ableiten bestätigt (deshalb mussten wir uns oben keine Gedanken über die Integrationsgrenzen machen).


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (8 (2+5+1) Punkte)

Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

zu einem Punkt .

  1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

    mit einem .

  2. Es sei in differenzierbar. Zeige
  3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).


Lösung

  1. Unter Verwendung von Rechenregeln für Exponentialfunktionen ist

    Da dies unabhängig von ist, ist auch der Limes für gleich .

  2. Wir betrachten den natürlichen Logarithmus des funktionalen Ausdrucks, also

    Dies ist der Differenzenquotient zur Funktion im Punkt . Da differenzierbar ist, ist auch diese Verknüpfung differenzierbar mit der Ableitung

    Somit ist

    und insbesondere existiert der Limes links. Da die Exponentialfunktion stetig ist, folgt daraus

  3. Für

    ist die Ableitung gleich . Somit ist

    die Exponentialfunktion davon ist in der Tat gleich .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung