Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/18/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	4	3	0	0	4	0	3	0	24

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
5. /Definition/Begriff
6. Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen ${}30$ und ${}40$ cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise

${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}2^{i}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Untersuche die Folge

${}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,$

auf Konvergenz. Verwende, dass ${}{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei ${}y=1$ jeweils tangential schneidet.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe den Zusammenhang

${}\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx\,$

für ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.

Aufgabe (0 Punkte)