Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/18/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 3 3 1 3 4 3 0 0 4 0 3 0 24




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. /Definition/Begriff
  2. /Definition/Begriff
  3. /Definition/Begriff
  4. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  5. /Definition/Begriff
  6. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .


Lösung Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.


Lösung

Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.


Aufgabe (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?


Lösung

Es sei die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für kann man das Stück in zwei (beispielsweise gleichgroße) Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab

ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich

mit einer natürlichen Zahl . Wenn man durch dividiert, erhält man

was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise


Lösung

Der Induktionsanfang bei ist klar. Unter Verwendung der Pascalschen Rekursionsformel und der Induktionsvoraussetzung ist


Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die Folge

auf Konvergenz. Verwende, dass gegen konvergiert.


Lösung

Es ist

Daher ist

Da und somit auch das Quadrat davon gegen konvergiert, konvergiert die Folge gegen .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei jeweils tangential schneidet.


Lösung

Das gesuchte Polynom sei

Dann ist

Die Bedingung, dass der Graph zu die Diagonale und die Gegendiagonale bei schneidet, bedeutet

Die Steigung der Diagonale ist . Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies

Die Steigung der Gegendiagonale ist . Dies bedeutet somit

Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt

und somit

Daraus ergibt sich mit der ersten (oder der zweiten) Gleichung

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Begründe den Zusammenhang

für allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.


Lösung

Wir betrachten die Substitution

bzw.

Aus den Grenzen und werden dabei die Grenzen und und es gilt

Somit ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung