Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 2 5 4 5 2 2 4 4 5 3 4 5 7 4 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  3. Eine Reihe von komplexen Zahlen .
  4. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge .
  5. Die komplexe Exponentialfunktion.
  6. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .

  7. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  8. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

    auf einer offenen Menge .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in .
  3. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
  4. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen (erste Version).


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel


Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Folge und . Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe mit für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine bijektive differenzierbare Funktion mit für alle und der Umkehrfunktion . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

Also ist


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit und mit für alle und ein . Zeige, dass die Funktionalgleichung

für alle erfüllt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige anhand der Funktion

dass der Mittelwertsatz für komplexwertige Funktionen nicht gelten muss. Man gebe also zwei Punkte an derart, dass die Gesamtsteigung nicht als Ableitung eines Punktes auf der Verbindungsstrecke von nach auftritt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

Zu jedem Startwert betrachten wir die reelle Folge
es gilt also die rekursive Beziehung . Zeige, dass die Folge für einen Häufungspunkt besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen (erste Version).


Aufgabe * (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.


Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von .

b) Bestimme eine Stammfunktion von für .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?




Anhang


Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei .

  1. Man sagt, dass die Folge gegen hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und alle gilt die Beziehung
  2. Man sagt, dass die Folge gegen supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Man sagt, dass die Folge gegen megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein derart, dass für alle und jedes , , die Beziehung

    gilt.

  4. Man sagt, dass die Folge gegen pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass die Beziehung

    gilt.

  5. Man sagt, dass die Folge gegen semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und jedem gibt es ein , , derart, dass die Beziehung

    gilt.

  6. Man sagt, dass die Folge gegen protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  7. Man sagt, dass die Folge gegen quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , und ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  8. Man sagt, dass die Folge gegen deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.


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