Lösung
- Man nennt die Menge
-

die Produktmenge der Mengen
und
.
- Die Abbildung
-
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
.
- Unter der Reihe
versteht man die Folge
der Partialsummen
-

- Eine reelle Zahl
heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes
unendlich viele Folgenglieder
mit
gibt.
- Die
Abbildung
-
heißt
(komplexe)
Exponentialfunktion.
- Das Treppenintegral von
ist durch
-
definiert.
- Die Funktion
heißt Riemann-integrierbar, wenn die
Einschränkung
von
auf jedes
kompakte
Intervall
Riemann-integrierbar
ist.
- Man nennt die Gleichung
-
gewöhnliche Differentialgleichung zu
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die allgemeine binomische Formel für
.
- Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in
.
- Der
Identitätssatz für Potenzreihen.
- Die
Substitutionsregel
zur Integration von stetigen Funktionen
(erste Version).
Lösung
- Für
in einem Körper
gilt
-

- Für alle komplexen Zahlen
mit
konvergiert die Reihe
absolut und es gilt
-

- Es seien
und
Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein
gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
-
übereinstimmen. Dann ist
für alle
.
- Sei
ein reelles Intervall und sei
-
eine stetige Funktion. Es sei
-
stetig differenzierbar. Dann gilt
-

Berechne die Gaußklammer von
.
Lösung
Es ist
-
und
-
daher ist
-

also ist
-

Zeige mittels vollständiger Induktion für
die Formel
-

Lösung
Bei
besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden
,
die Summe ist also
. Da
ungerade ist, steht rechts
,
der Induktionsanfang ist also gesichert.
Sei die Aussage nun für
bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für
zu zeigen. Die Summe links ist
-

Bei
gerade
(also
ungerade)
ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich
-

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei
ungerade
(also
gerade)
ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich
-

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.
Lösung
Richtig sind (4), (5), (6), (7).
Zeige, dass die Funktion
-
mit
-
nur im Nullpunkt stetig ist.
Lösung
Sei zunächst
und
vorgegeben. Dann kann man
setzen, denn aus
folgt wegen
oder
auch
. Sei nun
. Wir zeigen, dass man für
kein
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Sei hierzu
vorgegeben und sei
. Wenn
rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
, wenn
irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
. Im ersten Fall gilt
-

im zweiten Fall gilt
-

so dass in beiden Fällen die
-Umgebung von
nicht in die
-Umgebung von
abgebildet wird.
Zeige, dass eine
konvergente Potenzreihe
mit
für alle geraden Indizes eine
ungerade Funktion
darstellt.
Lösung
Nach Voraussetzung besitzt die Potenzreihe die Gestalt

Daher ist

Die Funktion ist also ungerade.
Es sei
-
eine bijektive differenzierbare Funktion mit
für alle
und der Umkehrfunktion
. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?
Es ist
-

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung
-

Also ist
-

Lösung
Die Kettenregel setzt voraus, dass beide Abbildungen differenzierbar sind, das weiß man hier aber von
nicht.
Lösung
Lösung
Es sei
-
Zu jedem Startwert

betrachten wir die reelle Folge
-
es gilt also die rekursive Beziehung

. Zeige, dass die Folge für
![{\displaystyle {}x_{0}\in [-2,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4cee25a06918fa8ed1502a4310fda8edbe2d16)
einen Häufungspunkt besitzt.
Lösung
Es ist
-

und
-

Die Ableitung der Funktion ist
-

daher wird das Minimum bei
-

mit dem Wert
-

angenommen. Daher ist
-
Bei
![{\displaystyle {}x_{0}\in [-2,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4cee25a06918fa8ed1502a4310fda8edbe2d16)
sind demnach alle Folgenglieder
![{\displaystyle {}x_{n}\in [-2,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0c03619cadb95d8c2439b7e4c5799351884a6e)
. Nach dem
Satz von Bolzano-Weierstraß
besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt.
Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
-
im Punkt

bis zur Ordnung

(man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad

zum Entwicklungspunkt

an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).
Lösung
Wir müssen das Polynom
-
berechnen. Es ist
-

-

-

-

und
-

Daher ist das vierte Taylor-Polynom
(also die Taylor-Reihe bis zum Grad vier)
gleich
-
Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.
Lösung
Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall
(in Stunden) durch die Funktion
-
beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.
Lösung
Es sei
der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde
ist das bestimmte Integral

Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall
bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist
-

Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf
bzw. auf
-

Also ist
-

(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem
außerhalb des Definitionsbereiches führt).
Die zweite Ableitung
-
ist an der Stelle
negativ, so dass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.
Aufgabe (7 (5+2) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
-
a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
.
b) Bestimme eine Stammfunktion von
für
.
Lösung
a) Zunächst ist
-

Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt
-

Daher ist
-

Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz
-

der wiederum auf
-

führt.
Für
ergibt sich
-

also
.
Für
ergibt sich
-

also
.
Für
ergibt sich
-

also
.
Der Koeffizient zu
führt schließlich auf
-

Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf
-

Aus der vierten Gleichung folgt daraus
und aus der zweiten Gleichung ergibt sich
-

Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung
-

b) Eine Stammfunktion von
ist
-
Lösung