Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	4	4	2	5	4	5	2	2	4	4	5	3	4	5	7	4	64

Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

3. Eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen ${}a_{k}$.
4. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
5. Die komplexe Exponentialfunktion.
6. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I=[a,b]$ zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

7. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

8. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.

Lösung

1. Man nennt die Menge

   ${}L\times M={\left\{(x,y){|}\,x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

   die Produktmenge der Mengen ${}L$ und ${}M$.

2. Die Abbildung

   $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

   heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

3. Unter der Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

   $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}.$

4. Eine reelle Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ mit ${}\mid \!x_{n}-x\!\mid \leq \epsilon$ gibt.
5. Die Abbildung

   $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

   heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

6. Das Treppenintegral von ${}t$ ist durch

   $T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})$

   definiert.

7. Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ Riemann-integrierbar ist.
8. Man nennt die Gleichung

   $y'=f(t,y)$

   gewöhnliche Differentialgleichung zu ${}f$.

Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${}(a+b)^{n}$.
2. Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${}\mathbb {C}$.
3. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
4. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen (erste Version).

Lösung

1. Für ${}a,b$ in einem Körper ${}K$ gilt

   ${}(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$

2. Für alle [[{{:MDLUL/{{|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{|Siehe=
   MDLUL/
   Ziel=[[{{|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|komplexen Zahlen]] ${}z$ mit ${}{|z|}<1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

3. Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ [[{{:MDLUL/{{|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{|Siehe=
   MDLUL/
   Ziel=[[{{|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Potenzreihen]] mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein ${}\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

   $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow \mathbb {K}$

   übereinstimmen. Dann ist ${}a_{n}=b_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.
4. Sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Es sei

   $g\colon [a,b]\longrightarrow I$

   stetig differenzierbar. Dann gilt

   $\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds.$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von ${}-{\frac {133}{3}}$.

Lösung

Es ist

$-44=-{\frac {132}{3}}$

und

$-45=-{\frac {135}{3}},$

daher ist

${}-45\leq -{\frac {133}{3}}<-44\,,$

also ist

${}\left\lfloor -{\frac {133}{3}}\right\rfloor =-45\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für ${}n\geq 1$ die Formel

${}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

Lösung

Bei ${}n=1$ besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden ${}(-1)^{1}1=-1$, die Summe ist also ${}-1$. Da ${}1$ ungerade ist, steht rechts ${}-{\frac {2}{2}}=-1$, der Induktionsanfang ist also gesichert.

Sei die Aussage nun für ${}n$ bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für ${}n+1$ zu zeigen. Die Summe links ist

${}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k}k={\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k\right)}+(-1)^{n+1}(n+1)\,.$

Bei ${}n$ gerade (also $n+1$ ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

${}{\frac {n}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)={\frac {n}{2}}-(n+1)={\frac {n-2n-2}{2}}={\frac {-n-2}{2}}=-{\frac {n+2}{2}}\,,$

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ${}n$ ungerade (also $n+1$ gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

${}-{\frac {n+1}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)=-{\frac {n+1}{2}}+(n+1)={\frac {-n-1+2n+2}{2}}={\frac {n+1}{2}}\,,$

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Folge ${}x_{n}=(-1)^{n}$ und ${}x=-1$. Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?

Lösung

Richtig sind (4), (5), (6), (7).

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Lösung

Sei zunächst ${}x=0$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Dann kann man ${}\delta =\epsilon$ setzen, denn aus ${}\mid \!{u}\!\mid \leq \epsilon$ folgt wegen ${}f(x)=0$ oder ${}f(x)=x$ auch ${}\mid \!{f(u)}\!\mid \leq \epsilon$. Sei nun ${}x\neq 0$. Wir zeigen, dass man für ${}\epsilon =\mid \!{\frac {x}{2}}\!\mid >0$ kein ${}\delta >0$ mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Sei hierzu ${}\delta >0$ vorgegeben und sei ${}c={\min {\left(\delta ,\epsilon \right)}}$. Wenn ${}x$ rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl ${}u\in ]x-c,x+c[$, wenn ${}x$ irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl ${}q\in ]x-c,x+c[$. Im ersten Fall gilt

${}\mid \!f(x)-f(u)\!\mid =\mid \!x\!\mid >\epsilon \,,$

im zweiten Fall gilt

${}\mid \!f(x)-f(q)\!\mid =\mid \!q\!\mid >\epsilon \,,$

so dass in beiden Fällen die ${}\delta$-Umgebung von ${}x$ nicht in die ${}\epsilon$-Umgebung von ${}f(x)$ abgebildet wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=0$ für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.

Lösung

Nach Voraussetzung besitzt die Potenzreihe die Gestalt

${}{\begin{aligned}f(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}z^{2k+1}.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}f(-z)&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}(-z)^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}(-1)^{2k+1}z^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}(-1)z^{2k+1}\\&=-{\left(\sum _{k=0}^{\infty }c_{2k+1}z^{2k+1}\right)}\\&=-f(z).\end{aligned}}$

Die Funktion ist also ungerade.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine bijektive differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)\neq 0$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

$(f\circ f^{-1})(y)=y.$

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

$(f'(f^{-1}(y))(f^{-1})'(y)=1.$

Also ist

$(f^{-1})'(y)={\frac {1}{(f'(f^{-1}(y))}}.$

Lösung

Die Kettenregel setzt voraus, dass beide Abbildungen differenzierbar sind, das weiß man hier aber von ${}f^{-1}$ nicht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f'(x)=\lambda f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und ein ${}\lambda \in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ die Funktionalgleichung

$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt.

Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion ${}g(x)=\ln f(x)$, die wohldefiniert ist, da ${}f$ nur positive Werte annimmt. Die Funktion ${}g$ ist differenzierbar mit

${}g'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {\lambda f(x)}{f(x)}}=\lambda \,.$

Die Ableitung ist also konstant gleich ${}\lambda$, daher ist ${}g(x)=\lambda x+c$. Somit ist

${}f(x)=\exp {\left(\ln f(x)\right)}=\exp {\left(\lambda x+c\right)}=\exp {\left(\lambda x\right)}\exp c\,$

und wegen ${}f(0)=1$ ist ${}c=0$. Daher ist

${}f(x+y)=\exp {\left({\lambda (x+y)}\right)}=\exp {\left({\lambda x+\lambda y}\right)}=\exp {\left({\lambda x}\right)}\cdot \exp {\left({\lambda y}\right)}=f(x)\cdot f(y)\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige anhand der Funktion

$f\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto e^{iz},$

dass der Mittelwertsatz für komplexwertige Funktionen nicht gelten muss. Man gebe also zwei Punkte ${}a,b\in \mathbb {C}$ an derart, dass die Gesamtsteigung ${}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ nicht als Ableitung eines Punktes auf der Verbindungsstrecke von ${}a$ nach ${}b$ auftritt.

Lösung

Wir wählen ${}a=0$ und ${}b=2\pi$. Dann ist

${}e^{0}=e^{2\pi i}=1\,$

und somit ist die Gesamtsteigung

${}{\frac {e^{2\pi i}-e^{0}}{2\pi }}=0\,.$

Die Verbindungsstrecke besteht aus allen reellen Zahlen ${}r$ zwischen ${}0$ und ${}2\pi$. Für diese ist

${}{\left(e^{ir}\right)}'=ie^{ir}\,.$

Dies ist nie ${}0$, da beide Faktoren nie ${}0$ sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f(x)=x^{2}+x-{\frac {7}{4}}.$

Zu jedem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ betrachten wir die reelle Folge

$x_{n}=f^{n}(x_{0}),$

es gilt also die rekursive Beziehung ${}x_{n+1}=f(x_{n})$. Zeige, dass die Folge für ${}x_{0}\in [-2,1]$ einen Häufungspunkt besitzt.

Lösung

Es ist

${}f(-2)=(-2)^{2}-2-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,$

und

${}f(1)=1^{2}+1-{\frac {7}{4}}={\frac {1}{4}}\,.$

Die Ableitung der Funktion ist

${}f'(x)=2x+1\,,$

daher wird das Minimum bei

${}x=-{\frac {1}{2}}\,$

mit dem Wert

${}f{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\left(-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}-{\frac {7}{4}}=-2\,$

angenommen. Daher ist

$f([-2,1])\subseteq [-2,{\frac {1}{4}}]\subseteq [-2,1].$

Bei ${}x_{0}\in [-2,1]$ sind demnach alle Folgenglieder ${}x_{n}\in [-2,1]$. Nach dem

Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion

$f(x)=\sin x$

im Punkt ${}\pi /2$ bis zur Ordnung ${}4$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ zum Entwicklungspunkt ${}\pi /2$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Lösung

Wir müssen das Polynom

$\sum _{k=0}^{4}{\frac {f^{(k)}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}{k!}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{k}$

berechnen. Es ist

${}f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,,$

${}f^{\prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,,$

${}f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-1\,,$

${}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,$

und

${}f^{\prime \prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,.$

Daher ist das vierte Taylor-Polynom (also die Taylor-Reihe bis zum Grad vier) gleich

$1-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}+{\frac {1}{24}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{4}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen (erste Version).

Lösung

Wegen der Stetigkeit von ${}f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von ${}g$ existieren beide Integrale. Es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$, die aufgrund von Korollar 24.5 existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion ${}t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)$ die Ableitung ${}F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$. Daher gilt insgesamt

${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))=F|_{g(a)}^{g(b)}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${}[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

$f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Lösung

Es sei ${}a\in [6,21]$ der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde ${}[a,a+1]$ ist das bestimmte Integral

${}{\begin{aligned}S(a)&=\int _{a}^{a+1}(-t^{3}+27t^{2}-120t)\,dt\\&={\left(-{\frac {1}{4}}t^{4}+9t^{3}-60t^{2}\right)}|_{a}^{a+1}\\&={\left(-{\frac {1}{4}}(a+1)^{4}+9(a+1)^{3}-60(a+1)^{2}\right)}-{\left(-{\frac {1}{4}}a^{4}+9a^{3}-60a^{2}\right)}\\&=-{\frac {1}{4}}(4a^{3}+6a^{2}+4a+1)+9(3a^{2}+3a+1)-60(2a+1)\\&=-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}.\,\end{aligned}}$

Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall ${}[6,21]$ bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist

${}S'(a)={\left(-a^{3}+{\frac {51}{2}}a^{2}-94a-{\frac {205}{4}}\right)}^{\prime }=-3a^{2}+51a-94\,.$

Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf ${}a^{2}-17a+{\frac {94}{3}}=0$ bzw. auf

${}{\left(a-{\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\left({\frac {17}{2}}\right)}^{2}=-{\frac {94}{3}}+{\frac {289}{4}}={\frac {-376+867}{12}}={\frac {491}{12}}\,.$

Also ist

${}a_{0}={\sqrt {\frac {491}{12}}}+{\frac {17}{2}}\cong 14,8966\cong 14{\text{ Uhr }}54\,$

(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem ${}a$ außerhalb des Definitionsbereiches führt). Die zweite Ableitung

$S^{\prime \prime }(a)=-6a+51$

ist an der Stelle ${}a_{0}$ negativ, so dass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.

Aufgabe (7 (5+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}.$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${}f$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${}f$ für ${}x>1$.

Lösung

a) Zunächst ist

${}(x-1)^{2}(x^{2}+1)=(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1\,.$

Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt

${}x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1=(x+2)(x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1)+5x^{3}-4x^{2}+4x-3\,.$

Daher ist

${}{\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}\,.$

Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz

${}{\frac {5x^{3}-4x^{2}+4x-3}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}={\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{(x-1)^{2}}}+{\frac {cx+d}{(x^{2}+1)}}\,,$

der wiederum auf

${}5x^{3}-4x^{2}+4x-3=a(x-1)(x^{2}+1)+b(x^{2}+1)+(cx+d)(x-1)^{2}\,$

führt.

Für ${}x=1$ ergibt sich

${}2=2b\,,$

also ${}b=1$.

Für ${}x=0$ ergibt sich

${}-3=-a+1+d\,,$

also ${}4=a-d$.

Für ${}x=-1$ ergibt sich

${}-5-4-4-3=-16=-4a+2+4(-c+d)\,,$

also ${}{\frac {18}{4}}=a+c-d$.

Der Koeffizient zu ${}x^{3}$ führt schließlich auf

${}5=a+c\,.$

Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf

${}c={\frac {18}{4}}-4={\frac {1}{2}}\,.$

Aus der vierten Gleichung folgt daraus ${}a={\frac {9}{2}}$ und aus der zweiten Gleichung ergibt sich

${}d={\frac {1}{2}}\,.$

Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung

${}{\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}}=x+2+{\frac {\frac {9}{2}}{x-1}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)}}\,.$

b) Eine Stammfunktion von ${}f$ ist

${\frac {1}{2}}x^{2}+2x+{\frac {9}{2}}\ln(x-1)-(x-1)^{-1}+{\frac {1}{4}}\ln(x^{2}+1)+{\frac {1}{2}}\arctan x.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${}y>0$)

$y'=t^{2}y^{3}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Lösung

Wir schreiben ${}g(t)=t^{2}$ und ${}h(y)=y^{3}$. Eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{h(y)}}={\frac {1}{y^{3}}}$ ist ${}H(y)=-{\frac {1}{2}}y^{-2}=z$ (${}z$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

$y=H^{-1}(z)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}.$

Die Stammfunktionen zu ${}g(t)=t^{2}$ sind ${}{\frac {1}{3}}t^{3}+c$ mit ${}c\in \mathbb {R}$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

${}y(t)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}^{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{2{\left({\frac {1}{3}}t^{3}+c\right)}}}}={\sqrt {\frac {-1}{{\frac {2}{3}}t^{3}+2c}}}\,.$

Bei gegebenem ${}c$ ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn

${\frac {2}{3}}t^{3}+2c<0$

ist. Dies bedeutet

$t<{\sqrt[{3}]{-3c}}.$

Die Definitionsbereiche sind also

$]-\infty ,{\sqrt[{3}]{-3c}}[.$

Anhang

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$.

1. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und alle ${}n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung

   ${}\mid \!x_{n}-x\!\mid \leq \epsilon \,.$

2. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon \geq 0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\mid \!x_{n}-x\!\mid \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ und jedes ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, die Beziehung

   ${}\mid \!x_{n}-x\!\mid \leq \epsilon \,$

   gilt.

4. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass die Beziehung

   ${}\mid \!x_{n}-x\!\mid \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und jedem ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq n_{0}$, derart, dass die Beziehung

   ${}\mid \!x_{n}-x\!\mid \leq \epsilon \,$

   gilt.

6. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, derart, dass für alle ${}n\in \mathbb {N}$ die Beziehung

   ${}\mid \!x_{n}-x\!\mid \leq \epsilon \,$

   gilt.

7. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, und ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\mid \!x_{n}-x\!\mid \leq \epsilon \,$

   gilt.

8. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}x_{n}-x\leq \epsilon \,$

   gilt.

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