Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 2 5 4 5 2 2 4 4 5 3 4 5 7 4 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  3. Eine Reihe von komplexen Zahlen .
  4. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge .
  5. Die komplexe Exponentialfunktion.
  6. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .

  7. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  8. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

    auf einer offenen Menge .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  3. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
  4. Eine reelle Zahl heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
  5. Die Abbildung

    heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

  6. Das Treppenintegral von ist durch

    definiert.

  7. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
  8. Man nennt die Gleichung

    gewöhnliche Differentialgleichung zu .


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in .
  3. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
  4. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen (erste Version).


Lösung

  1. Für in einem Körper gilt
  2. Für alle [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|komplexen Zahlen]] mit konvergiert die Reihe absolut und es gilt
  3. Es seien und [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Potenzreihen]] mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
    übereinstimmen. Dann ist für alle .
  4. Sei ein reelles Intervall und sei

    eine stetige Funktion. Es sei

    stetig differenzierbar. Dann gilt


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von .


Lösung

Es ist

und

daher ist

also ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel


Lösung

Bei besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden , die Summe ist also . Da ungerade ist, steht rechts , der Induktionsanfang ist also gesichert.

Sei die Aussage nun für bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für zu zeigen. Die Summe links ist

Bei gerade (also ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ungerade (also gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Folge und . Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?


Lösung

Richtig sind (4), (5), (6), (7).


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Lösung

Sei zunächst und vorgegeben. Dann kann man setzen, denn aus folgt wegen oder auch . Sei nun . Wir zeigen, dass man für kein mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Sei hierzu vorgegeben und sei . Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl , wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl . Im ersten Fall gilt

im zweiten Fall gilt

so dass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe mit für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.


Lösung

Nach Voraussetzung besitzt die Potenzreihe die Gestalt

Daher ist

Die Funktion ist also ungerade.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine bijektive differenzierbare Funktion mit für alle und der Umkehrfunktion . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

Also ist


Lösung

Die Kettenregel setzt voraus, dass beide Abbildungen differenzierbar sind, das weiß man hier aber von nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit und mit für alle und ein . Zeige, dass die Funktionalgleichung

für alle erfüllt.


Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion , die wohldefiniert ist, da nur positive Werte annimmt. Die Funktion ist differenzierbar mit

Die Ableitung ist also konstant gleich , daher ist . Somit ist

und wegen ist . Daher ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige anhand der Funktion

dass der Mittelwertsatz für komplexwertige Funktionen nicht gelten muss. Man gebe also zwei Punkte an derart, dass die Gesamtsteigung nicht als Ableitung eines Punktes auf der Verbindungsstrecke von nach auftritt.


Lösung

Wir wählen und . Dann ist

und somit ist die Gesamtsteigung

Die Verbindungsstrecke besteht aus allen reellen Zahlen zwischen und . Für diese ist

Dies ist nie , da beide Faktoren nie sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

Zu jedem Startwert betrachten wir die reelle Folge
es gilt also die rekursive Beziehung . Zeige, dass die Folge für einen Häufungspunkt besitzt.


Lösung

Es ist

und

Die Ableitung der Funktion ist

daher wird das Minimum bei

mit dem Wert

angenommen. Daher ist
Bei sind demnach alle Folgenglieder . Nach dem

Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Lösung

Wir müssen das Polynom

berechnen. Es ist

und

Daher ist das vierte Taylor-Polynom (also die Taylor-Reihe bis zum Grad vier) gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen (erste Version).


Lösung

Wegen der Stetigkeit von und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von existieren beide Integrale. Es sei eine Stammfunktion von , die aufgrund von Korollar 24.5 existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion die Ableitung . Daher gilt insgesamt


Aufgabe (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.


Lösung

Es sei der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde ist das bestimmte Integral

Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist

Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf bzw. auf

Also ist

(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem außerhalb des Definitionsbereiches führt). Die zweite Ableitung

ist an der Stelle negativ, so dass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.


Aufgabe (7 (5+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von .

b) Bestimme eine Stammfunktion von für .


Lösung

a) Zunächst ist

Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt

Daher ist

Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz

der wiederum auf

führt.

Für ergibt sich

also .

Für ergibt sich

also .

Für ergibt sich

also .

Der Koeffizient zu führt schließlich auf

Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf

Aus der vierten Gleichung folgt daraus und aus der zweiten Gleichung ergibt sich

Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung

b) Eine Stammfunktion von ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?


Lösung

Wir schreiben und . Eine Stammfunktion zu ist ( ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

Die Stammfunktionen zu sind mit . Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

Bei gegebenem ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn

ist. Dies bedeutet

Die Definitionsbereiche sind also




Anhang


Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei .

  1. Man sagt, dass die Folge gegen hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und alle gilt die Beziehung
  2. Man sagt, dass die Folge gegen supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Man sagt, dass die Folge gegen megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein derart, dass für alle und jedes , , die Beziehung

    gilt.

  4. Man sagt, dass die Folge gegen pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass die Beziehung

    gilt.

  5. Man sagt, dass die Folge gegen semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und jedem gibt es ein , , derart, dass die Beziehung

    gilt.

  6. Man sagt, dass die Folge gegen protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  7. Man sagt, dass die Folge gegen quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , und ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  8. Man sagt, dass die Folge gegen deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.


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