Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/2/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 5 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 7 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.

}{Die \stichwort {Hintereinanderschaltung} {} der Abbildungen \maabbdisp {F} {L} {M } {} und \maabbdisp {G} {M} {N } {.}

}{Eine \stichwort {Reihe} {}
\mathl{\sum_{k =0}^\infty a_k}{} von komplexen Zahlen $a_k$.

}{Ein \stichwort {Häufungspunkt} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{.}

}{Die \stichwort {komplexe Exponentialfunktion} {.}

}{Das \stichwort {Treppenintegral} {} zu einer Treppenfunktion \maabbdisp {t} {I} {\R } {} auf einem Intervall
\mathl{I=[a,b]}{} zur Unterteilung
\mathl{a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b}{} und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}

}{Die \stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.}

}{Die \stichwort {gewöhnliche Differentialgleichung} {} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {U} {\R } {} auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq \R^2}{.} }

}
{

\aufzaehlungacht{Man nennt die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \times M }
{ =} { { \left\{ (x,y) \mid x \in L,\, y \in M \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Produktmenge der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.} }{Die Abbildung \maabbeledisp {G \circ F} {L} {N } {x} {G(F(x)) } {,} heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen \mathkor {} {F} {und} {G} {.} }{Unter der Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} versteht man die Folge
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} der Partialsummen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_n }
{ =} { \sum_{ k = 0}^n a_{ k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Eine reelle Zahl
\mathl{x \in \R}{} heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes
\mathl{\epsilon > 0}{} unendlich viele Folgenglieder $x_n$ mit
\mathl{\betrag { x_n - x } \leq \epsilon}{} gibt. }{Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \exp z \defeq \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!} } {,} heißt \zusatzklammer {komplexe} {} {} Exponentialfunktion. }{Das Treppenintegral von $t$ ist durch
\mathdisp {T \defeq \sum_{i=1}^n t_i (a_i - a_{i-1})} { }
definiert. }{Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, wenn die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $f$ auf jedes \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[a,b] \subseteq \R}{} \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist. }{Man nennt die Gleichung
\mathdisp {y'=f(t,y)} { }
gewöhnliche Differentialgleichung zu $f$. }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Die \stichwort {allgemeine binomische Formel} {} für
\mathl{(a+b)^n}{.}}{Die \stichwort {Konvergenzaussage} {} für die geometrische Reihe in ${\mathbb C}$.}{Der \stichwort {Identitätssatz für Potenzreihen} {.}}{Die \stichwort {Substitutionsregel} {} zur Integration von stetigen Funktionen \zusatzklammer {erste Version} {} {.}}

}
{

\aufzaehlungvier{Für
\mathl{a,b}{} in einem Körper $K$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b)^n }
{ =} { \sum_{i = 0 }^n \binom { n } { i} a^i b^{n-i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Für alle komplexen Zahlen $z$ mit
\mathl{{{|z|}} < 1}{} konvergiert die Reihe
\mathl{\sum^\infty_{k = 0} z^k}{} absolut und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum^\infty_{k = 0} z^k }
{ =} {\frac{1}{1 - z} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es seien
\mathl{f=\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }}{} und
\mathl{g=\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }}{} Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein
\mathl{\epsilon > 0}{} gibt, dass die dadurch definierten Funktionen \maabbdisp {f,g} {U { \left( 0,\epsilon \right) }} {{\mathbb K} } {} übereinstimmen. Dann ist
\mathl{a_n=b_n}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.}}{Sei $I$ ein reelles Intervall und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine stetige Funktion. Es sei \maabbdisp {g} {[a,b]} {I } {} stetig differenzierbar. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(g(t)) g'(t) \, d t }
{ =} { \int_{ g(a) }^{ g(b) } f ( s) \, d s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Berechne die Gaußklammer von
\mathl{ - { \frac{ 133 }{ 3 } } }{.}

}
{

Es ist
\mathdisp {-44 = - { \frac{ 132 }{ 3 } }} { }
und
\mathdisp {-45 = - { \frac{ 135 }{ 3 } }} { , }
daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -45 }
{ \leq} { - { \frac{ 133 }{ 3 } } }
{ <} { -44 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor - { \frac{ 133 }{ 3 } } \right \rfloor }
{ =} { -45 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Zeige mittels vollständiger Induktion für
\mathl{n \geq 1}{} die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n (-1)^k k }
{ =} { \begin{cases} { \frac{ n }{ 2 } } \text{ bei } n \text{ gerade} , \\ - { \frac{ n+1 }{ 2 } } \text{ bei } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{

Bei
\mathl{n=1}{} besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(-1)^1 1 }
{ = }{- 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die Summe ist also
\mathl{-1}{.} Da $1$ ungerade ist, steht rechts
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{- { \frac{ 2 }{ 2 } } }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der Induktionsanfang ist also gesichert.

Sei die Aussage nun für $n$ bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für
\mathl{n+1}{} zu zeigen. Die Summe links ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{k = 1}^{n+1} (-1)^k k }
{ =} { { \left(\sum_{k = 1}^{n} (-1)^k k \right) } + (-1)^{n+1} (n+1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei $n$ gerade \zusatzklammer {also \mathlk{n+1}{} ungerade} {} {} ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n }{ 2 } } + (-1)^{n+1} (n+1) }
{ =} { { \frac{ n }{ 2 } } - (n+1) }
{ =} { { \frac{ n-2n-2 }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ -n-2 }{ 2 } } }
{ =} { - { \frac{ n+2 }{ 2 } } }
} {}{}{,} was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei $n$ ungerade \zusatzklammer {also \mathlk{n+1}{} gerade} {} {} ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ n+1 }{ 2 } } + (-1)^{n+1} (n+1) }
{ =} { -{ \frac{ n+1 }{ 2 } } + (n+1) }
{ =} { { \frac{ -n-1 +2n + 2 }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2 } } }
{ } { }
} {}{}{,} was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Betrachte die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ = }{ (-1)^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Anhang) treffen zu?

}
{

Richtig sind (4), (5), (6), (7).

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
nur im Nullpunkt stetig ist.

}
{

Sei zunächst $x=0$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Dann kann man $\delta= \epsilon$ setzen, denn aus $\vert u\vert \leq \epsilon$ folgt wegen
\mathl{f(x)=0}{} oder
\mathl{f(x)=x}{} auch $\vert {f(u)}\vert \leq \epsilon$. Sei nun $x \neq 0$. Wir zeigen, dass man für $\epsilon= \left\vert {\frac{x}{2} }\right\vert>0$ kein $\delta >0$ mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Sei hierzu $\delta >0$ vorgegeben und sei $c= {\min { \left( \delta , \epsilon \right) } }$. Wenn $x$ rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl $u \in {]x-c,x+ c[}$, wenn $x$ irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl $q \in {]x-c,x+ c[}$. Im ersten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(u) } }
{ =} { \betrag { x } }
{ >} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} im zweiten Fall gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x) -f(q) } }
{ =} {\betrag { q } }
{ >} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass in beiden Fällen die $\delta$-Umgebung von $x$ nicht in die $\epsilon$-Umgebung von $f(x)$ abgebildet wird.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle geraden Indizes eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} darstellt.

}
{

Nach Voraussetzung besitzt die Potenzreihe die Gestalt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(z) }
{ =} {\sum_{n=0}^\infty c_n z^n }
{ =} { \sum_{k=0}^\infty c_{2k+1} z^{2k+1} }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(-z) }
{ =} { \sum_{k=0}^\infty c_{2k+1} (-z)^{2k+1} }
{ =} {\sum_{k=0}^\infty c_{2k+1} (-1)^{2k+1} z^{2k+1} }
{ =} { \sum_{k=0}^\infty c_{2k+1} (-1) z^{2k+1} }
{ =} {- { \left( \sum_{k=0}^\infty c_{2k+1} z^{2k+1} \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -f(z) }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Die Funktion ist also ungerade.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine bijektive differenzierbare Funktion mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Was ist an folgendem \anfuehrung{Beweis}{} für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \circ f^{-1}) (y) }
{ =} { y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f' (f^{-1}(y)) ( f^{-1})' (y) }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( f^{-1})' (y) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ (f' (f^{-1}(y)) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Die Kettenregel setzt voraus, dass beide Abbildungen differenzierbar sind, das weiß man hier aber von $f^{-1}$ nicht.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R_+ } {x} {f(x) } {,} eine differenzierbare Funktion mit
\mathl{f(0)=1}{} und mit
\mathl{f'(x)= \lambda f(x)}{} für alle
\mathl{x \in \R}{} und ein
\mathl{\lambda \in \R}{.} Zeige, dass $f$ die Funktionalgleichung
\mathdisp {f(x+y) = f(x) \cdot f(y)} { }
für alle
\mathl{x,y \in \R}{} erfüllt.

}
{

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion
\mathl{g(x) = \ln f(x)}{,} die wohldefiniert ist, da
\mathl{f}{} nur positive Werte annimmt. Die Funktion $g$ ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x) }
{ =} { { \frac{ f'(x) }{ f(x) } } }
{ =} {{ \frac{ \lambda f(x) }{ f(x) } } }
{ =} { \lambda }
{ } { }
} {}{}{.} Die Ableitung ist also konstant gleich $\lambda$, daher ist
\mathl{g(x)= \lambda x + c}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { \exp \left( \ln f( x) \right) }
{ =} { \exp \left( \lambda x+c \right) }
{ =} { \exp \left( \lambda x \right) \exp c }
{ } { }
} {}{}{} und wegen
\mathl{f(0)=1}{} ist
\mathl{c=0}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y) }
{ =} { \exp \left( {\lambda (x+y)} \right) }
{ =} { \exp \left( {\lambda x+ \lambda y} \right) }
{ =} { \exp \left( {\lambda x } \right) \cdot \exp \left( {\lambda y } \right) }
{ =} { f(x) \cdot f(y) }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Zeige anhand der Funktion \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {e^{ { \mathrm i} z} } {,} dass der Mittelwertsatz für komplexwertige Funktionen nicht gelten muss. Man gebe also zwei Punkte
\mathl{a,b \in {\mathbb C}}{} an derart, dass die Gesamtsteigung
\mathl{{ \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } }}{} nicht als Ableitung eines Punktes auf der Verbindungsstrecke von $a$ nach $b$ auftritt.

}
{

Wir wählen
\mathl{a=0}{} und
\mathl{b=2 \pi}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^0 }
{ =} { e^{2 \pi { \mathrm i} } }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist die Gesamtsteigung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ e^{2 \pi { \mathrm i} } - e^0 }{ 2 \pi } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Verbindungsstrecke besteht aus allen reellen Zahlen $r$ zwischen \mathkor {} {0} {und} {2 \pi} {.} Für diese ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( e^{ { \mathrm i} r} \right) }' }
{ =} { { \mathrm i} e^{ { \mathrm i} r } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist nie $0$, da beide Faktoren nie $0$ sind.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Es sei
\mathdisp {f(x) = x^2+x- { \frac{ 7 }{ 4 } }} { . }
Zu jedem Startwert
\mathl{x_0 \in \R}{} betrachten wir die reelle Folge
\mathdisp {x_n = f^n(x_0)} { , }
es gilt also die rekursive Beziehung
\mathl{x_{n +1} =f(x_{n})}{.} Zeige, dass die Folge für
\mathl{x_0 \in [-2,1]}{} einen Häufungspunkt besitzt.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(-2) }
{ =} {(-2)^2 -2 - { \frac{ 7 }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(1) }
{ =} {1^2 +1 - { \frac{ 7 }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Ableitung der Funktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ =} {2x +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} daher wird das Minimum bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ =} { -{ \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit dem Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( -{ \frac{ 1 }{ 2 } } \right) } }
{ =} { { \left( -{ \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 -{ \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ 7 }{ 4 } } }
{ =} { - 2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} angenommen. Daher ist
\mathdisp {f([-2,1]) \subseteq [-2,{ \frac{ 1 }{ 4 } }] \subseteq [-2,1]} { . }
Bei
\mathl{x_0 \in [-2,1]}{} sind demnach alle Folgenglieder
\mathl{x_n \in [-2,1]}{.} Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
\mathdisp {f(x)=\sin x} { }
im Punkt $\pi/2$ bis zur Ordnung $4$ \zusatzklammer {man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad $4$ zum Entwicklungspunkt $\pi/2$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen} {} {.}

}
{

Wir müssen das Polynom
\mathdisp {\sum_{k=0}^4 { \frac{ f^{(k)}{ \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }{ k! } } { \left(x- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^{k}} { }
berechnen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { \sin { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { \cos { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { - \sin { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} {-1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime } { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} {- \cos { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime \prime \prime } { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { \sin { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist das vierte Taylor-Polynom \zusatzklammer {also die Taylor-Reihe bis zum Grad vier} {} {} gleich
\mathdisp {1 - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left(x- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^{2} + { \frac{ 1 }{ 24 } } { \left(x- { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^{4}} { . }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

}
{

Wegen der Stetigkeit von $f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von $g$ existieren beide Integrale. Es sei $F$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von $f$, die aufgrund von Korollar 24.5 existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t \mapsto F(g(t)) }
{ =} { (F \circ g)(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(g(t)) g'(t) }
{ = }{ f(g(t))g'(t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher gilt insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(g(t)) g'(t) \, d t }
{ =} { (F \circ g) | _{ a } ^{ b } }
{ =} { F(g(b)) - F(g(a)) }
{ =} { F | _{ g(a) } ^{ g(b) } }
{ =} { \int_{ g(a) }^{ g(b) } f(s) \, d s }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall
\mathl{[6,22]}{} \zusatzklammer {in Stunden} {} {} durch die Funktion \maabbeledisp {f} {[6,22] } { \R } {t} {f(t) = -t^3+27t^2-120t } {,} beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

}
{

Es sei
\mathl{a \in [6,21]}{} der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde
\mathl{[a,a+1]}{} ist das bestimmte Integral
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{S(a) }
{ =} { \int_{ a }^{ a+1 } ( -t^3+27t^2-120t) \, d t }
{ =} { { \left(- { \frac{ 1 }{ 4 } } t^4+ 9 t^3-60 t^2\right) } | _{ a } ^{ a+1 } }
{ =} { { \left(- { \frac{ 1 }{ 4 } } (a+1)^4 + 9 (a+1)^3-60 (a+1)^2\right) } - { \left(- { \frac{ 1 }{ 4 } } a^4 + 9a^3-60 a^2\right) } }
{ =} {- { \frac{ 1 }{ 4 } } (4a^3+ 6a^2+4a+1) +9( 3a^2+3a+1) -60 (2a+1) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-a^3 + { \frac{ 51 }{ 2 } } a^2 -94 a - { \frac{ 205 }{ 4 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall
\mathl{[6,21]}{} bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S'(a) }
{ =} { { \left(-a^3 + { \frac{ 51 }{ 2 } } a^2 -94 a - { \frac{ 205 }{ 4 } }\right) }^\prime }
{ =} { -3a^2 + 51 a - 94 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^2-17a + { \frac{ 94 }{ 3 } } }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw. auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left(a- { \frac{ 17 }{ 2 } }\right) }^2 }
{ =} { - { \frac{ 94 }{ 3 } } + { \left( { \frac{ 17 }{ 2 } }\right) }^2 }
{ =} { - { \frac{ 94 }{ 3 } } + { \frac{ 289 }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ -376+867 }{ 12 } } }
{ =} { { \frac{ 491 }{ 12 } } }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_0 }
{ =} {\sqrt{ { \frac{ 491 }{ 12 } } } + { \frac{ 17 }{ 2 } } }
{ \cong} { 14, 8966 }
{ \cong} { 14 \text{ Uhr } 54 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem $a$ außerhalb des Definitionsbereiches führt} {} {.} Die zweite Ableitung
\mathdisp {S^{\prime \prime} (a) = -6a +51} { }
ist an der Stelle $a_0$ negativ, so dass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{7 (5+2)}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{1\}} { \R } {x} {{ \frac{ x^5+3x^3-2x^2+x-1 }{ (x-1)^2(x^2+1) } } } {.}

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von $f$ für $x>1$.

}
{

a) Zunächst ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-1)^2(x^2+1) }
{ =} {(x^2-2x+1)(x^2+1) }
{ =} {x^4-2x^3+2x^2-2x+1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^5+3x^3-2x^2+x-1 }
{ =} {(x+2) (x^4-2x^3+2x^2-2x+1) +5x^3-4x^2+4x-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^5+3x^3-2x^2+x-1 }{ x^4-2x^3+2x^2-2x+1 } } }
{ =} {x+2 + { \frac{ 5x^3-4x^2+4x-3 }{ x^4-2x^3+2x^2-2x+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für den rechten Bruch bestimmen wir die Partialbruchzerlegung über den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5x^3-4x^2+4x-3 }{ x^4-2x^3+2x^2-2x+1 } } }
{ =} { { \frac{ a }{ x-1 } } + { \frac{ b }{ (x-1)^2 } } + { \frac{ cx+d }{ (x^2+1) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} der wiederum auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x^3-4x^2+4x-3 }
{ =} { a (x-1)(x^2+1) + b(x^2+1) + (cx+d) (x-1)^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt.

Für
\mathl{x=1}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 }
{ =} {2b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mathl{b=1}{.}

Für
\mathl{x=0}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-3 }
{ =} { -a +1 +d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mathl{4=a-d}{.}

Für
\mathl{x=-1}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-5-4-4-3 }
{ =} { -16 }
{ =} { -4a+2+4(-c+d) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mathl{{ \frac{ 18 }{ 4 } } =a+c-d}{.}

Der Koeffizient zu $x^3$ führt schließlich auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 }
{ =} {a+c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Subtraktion der dritten Gleichung von der zweiten führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c }
{ =} { { \frac{ 18 }{ 4 } } - 4 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aus der vierten Gleichung folgt daraus
\mathl{a= { \frac{ 9 }{ 2 } }}{} und aus der zweiten Gleichung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ergibt sich insgesamt die Partialbruchzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^5+3x^3-2x^2+x-1 }{ x^4-2x^3+2x^2-2x+1 } } }
{ =} { x+2+ { \frac{ { \frac{ 9 }{ 2 } } }{ x-1 } } + { \frac{ 1 }{ (x-1)^2 } } + { \frac{ { \frac{ 1 }{ 2 } }x+{ \frac{ 1 }{ 2 } } }{ (x^2+1) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Eine Stammfunktion von $f$ ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } }x^2 +2x+ { \frac{ 9 }{ 2 } } \ln (x-1) - (x-1)^{-1} + { \frac{ 1 }{ 4 } } \ln (x^2+1) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \arctan x} { . }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme die Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} \zusatzklammer {
\mathl{y>0}{}} {} {}
\mathdisp {y'=t^2y^3} { }
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

}
{

Wir schreiben \mathkor {} {g(t)=t^2} {und} {h(y)=y^3} {.} Eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} zu
\mathl{{ \frac{ 1 }{ h(y) } } = { \frac{ 1 }{ y^3 } }}{} ist
\mathl{H(y)= - { \frac{ 1 }{ 2 } } y^{-2} =z}{} \zusatzklammer {$z$ ist also negativ} {} {} mit der \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
\mathdisp {y = H^{-1}(z) = \sqrt{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } z^{-1} }} { . }
Die Stammfunktionen zu
\mathl{g(t)=t^2}{} sind
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } }t^3 +c}{} mit
\mathl{c \in \R}{.} Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t) }
{ =} { \sqrt{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left({ \frac{ 1 }{ 3 } }t^3 +c\right) }^{-1} } }
{ =} { \sqrt{ { \frac{ -1 }{ 2 { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } t^3 + c \right) } } } } }
{ =} { \sqrt{ { \frac{ -1 }{ { \frac{ 2 }{ 3 } } t^3 + 2c } } } }
{ } { }
} {}{}{.}

Bei gegebenem $c$ ist diese Wurzel genau dann definiert, wenn
\mathdisp {{ \frac{ 2 }{ 3 } } t^3 + 2c < 0} { }
ist. Dies bedeutet
\mathdisp {t < \sqrt[3]{-3c}} { . }
Die Definitionsbereiche sind also
\mathdisp {] - \infty, \sqrt[3]{-3c}[} { . }

}







\zwischenueberschrift{Anhang}


Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} und es sei
\mathl{x \in K}{.}

\aufzaehlungacht{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {hypervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} und alle
\mathl{n \in \N}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {supervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon \geq 0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {megavergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Es gibt ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} und jedes
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {pseudovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n \in \N}{} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {semivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} und jedem
\mathl{n_0 \in \N}{} gibt es ein
\mathl{n \in \N}{,}
\mathl{n \geq n_0}{,} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {protovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} derart, dass für alle
\mathl{n \in \N}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {quasivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} und ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {deuterovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n-x }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }


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