Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/20/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 0 0 4 0 3 4 3 4 3 3 0 2 4 36



Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name

Lösung

Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung

/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung

/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Zeige durch Induktion über , dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.

Lösung

Es sei fixiert. Bei gibt es nur die leere Menge, was mit dem Binomialkoeffizienten

übereinstimmt. Sei die Aussage also für ein zwischen und schon bewiesen. Jeder -elementigen Teilmenge von und jedem der Elemente aus kann man die -elementige Menge

zuordnen. Dabei wird jede -elementige Menge erreicht, und zwar -fach, da man ja aus jedes der Elemente herausnehmen kann. Zwischen der Anzahl der -elementigen Teilmengen von und der Anzahl der -elementigen Teilmengen von besteht also der Zusammenhang

Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist daher


 

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung

/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion

derart, dass sämtliche Hintereinanderschaltungen unendlich oft differenzierbar sind.

Lösung

Wir betrachten die durch

definierte Funktion. Diese Funktion ist an der Stelle nicht stetig, da sie dort eine Sprungstelle besitzt. Es ist die konstante Funktion mit dem Wert , da nur die beiden Wert und besitzt und diese beiden auf abgebildet werden. Höhere Hintereinanderschaltungen von mit sich selbst sind aus demselben Grund ebenfalls die Nullabbildung. Als konstante Abbildung sind diese unendlich oft differenzierbar.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.

Lösung

Die Funktion hat an der Stelle den Wert

und an der Stelle den Wert

nach dem Zwischenwertsatz muss es also dazwischen ein Element mit dem Wert geben. Wir verwenden die Intervallhalbierung zur Approximation einer solchen Stelle. An der Stelle ist der Wert

Eine Lösung muss sich also im Intervall befinden. An der Stelle ist

Eine Lösung muss sich also im Intervall befinden. An der Stelle ist

Daher liegt eine Lösung im Intervall .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

Lösung

Die Ableitung der Funktion ist

und die zweite Ableitung ist

Wenn wir die erste Ableitung gleich setzen, so erhalten wir

und damit

Für die zweite Ableitung an

ist

also liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Minimum vor.

Für die zweite Ableitung an

ist

also liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Maximum vor. Beide sind nicht global, da das kubische Polynom surjektiv ist.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Polynom der Form

mit . Zeige, dass sowohl in als auch in die Tangente zu beschreibt. Skizziere die Situation.

Lösung

Die Tangente an ist durch die Steigung und einen Punkt festgelegt. Es ist

Daher ist

Ferner ist

d.h. hat die richtige Steigung und an den richtigen Wert, es handelt sich also um die Tangente. Wegen der Symmetrie der Situation gilt die entsprechende Aussage auch für .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion im Nullpunkt.

Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

und

Daher ist , und . Das Taylor-Polynom zu dieser Funktion im Nullpunkt ist daher das konstante Polynom .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion im Nullpunkt.

Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

und

Daher ist , und . Das Taylor-Polynom zu dieser Funktion im Nullpunkt ist daher .


 

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung

/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

Lösung

Eine Stammfunktion ist


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.

Lösung

Aufgrund von Satz 23.14 existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

gilt die Beziehung

Aufgrund von Satz 24.3 ist differenzierbar mit

d.h. ist eine Stammfunktion von . Wegen Lemma 24.6 ist . Daher ist