Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 4 4 3 2 8 6 5 3 2 4 4 3 2 4 5 4 1 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  3. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  4. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  5. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  6. Die Kosinusreihe zu .
  7. Eine Stammfunktion einer Abbildung auf einer offenen Menge .
  8. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Das Schubfachprinzip (oder Taubenschlagprinzip).
  3. Der Zwischenwertsatz.
  4. Die Quotientenregel für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).


Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Aufgabe * (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe * (8 (2+1+2+1+2) Punkte)

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.


Aufgabe * (5 Punkte)

Untersuche, ob die Reihe

konvergiert oder divergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

streng wachsende Funktionen, die auf übereinstimmen. Folgt daraus ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität

für .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

mit

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
im Entwicklungspunkt bis zur Ordnung

(man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

für .


Aufgabe * (1 Punkt)

Löse das Anfangswertproblem


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