Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	4	4	3	2	8	6	5	3	2	4	4	3	2	4	5	4	1	64

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$ .
Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$ .
Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$ .
Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${}z$ .
Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$ .
Die Kosinusreihe zu ${}z\in \mathbb {C}$ .
Eine Stammfunktion einer Abbildung ${}f:D\rightarrow {\mathbb {K} }$ auf einer offenen Menge ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ .
Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
Das Schubfachprinzip (oder Taubenschlagprinzip).
Der Zwischenwertsatz.
Die Quotientenregel für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).

Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

Seien ${}L,M,N$ Mengen und

f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe * (8 (2+1+2+1+2) Punkte)

Es sei

{}a\in \mathbb {R}

. Zu einem Startwert

{}x_{0}\in \mathbb {R}

sei eine reelle Folge rekursiv durch

x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ${}x_{0}>a$ ist ${}x_{n}>a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ${}x_{0}=a$ ist die Folge konstant.

(c) Bei ${}x_{0}<a$ ist ${}x_{n}<a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist ${}a$ .

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe * (5 Punkte)

Untersuche, ob die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+5}{4n^{3}-3n+2}}

konvergiert oder divergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

streng wachsende Funktionen, die auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmen. Folgt daraus ${}f=g$ ?

Aufgabe * (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}b>a$ reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

\Psi \colon C^{0}([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(]a,b[,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f{|}_{]a,b[}.

Zeige, dass ${}\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität

\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w

für ${}z,w\in \mathbb {C}$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}r>0$ . Es sei ${}I\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}

mit

b_{n}={\begin{cases}a_{n},\,{\text{ falls }}n\in I,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ${}\geq r$ ist.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\cos(\ln x).

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$ .

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion

{}f(x)=e^{x^{2}}-x\,

im Entwicklungspunkt ${}a=1$ bis zur Ordnung ${}4$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ zum Entwicklungspunkt ${}1$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).