Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/3/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 8 }

\renewcommand{\asechs}{ 6 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 63 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.

}{Die \stichwort {Fakultät} {} einer natürlichen Zahl $n$.

}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.

}{Der \stichwort {Real} {-} und der \stichwort {Imaginärteil} {} einer komplexen Zahl $z$.

}{Die \stichwort {Stetigkeit in einem Punkt} {} $a \in {\mathbb K}$ einer Abbildung $f:{\mathbb K} \rightarrow {\mathbb K}$.

}{Die \stichwort {Kosinusreihe} {} zu
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}

}{Eine \stichwort {Stammfunktion} {} einer Abbildung
\mathl{f:D \rightarrow {\mathbb K}}{} auf einer offenen Menge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}

}{Eine \stichwort {lineare inhomogene} {} gewöhnliche Differentialgleichung. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Der \stichwort {Satz von Bolzano-Weierstraß} {.}}{Das \stichwort {Schubfachprinzip} {} (oder \stichwort {Taubenschlagprinzip} {}).}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Die \stichwort {Quotientenregel} {} für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {\verknuepfung {f} {g}} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $\verknuepfung {f} {g}$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist auch $f$ injektiv.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+1+2+1+2)}
{

Es sei $a \in \R$. Zu einem Startwert $x_0 \in \R$ sei eine reelle Folge rekursiv durch
\mathdisp {x_{n+1} = { \frac{ x_n+a }{ 2 } }} { }
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei $x_0 > a$ ist $x_n > a$ für alle $n \in \N$ und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei $x_0 = a$ ist die Folge konstant.

(c) Bei $x_0 < a$ ist $x_n < a$ für alle $n \in \N$ und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist $a$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Untersuche, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
konvergiert oder divergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} streng wachsende Funktionen, die auf
\mathl{\Q}{} übereinstimmen. Folgt daraus
\mathl{f=g}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es seien
\mathl{b >a}{} reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} {C^0([a,b],\R) } {C^0(]a,b[,\R) } {f} { f{{|}}_{]a,b[} } {.} Zeige, dass $\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität
\mathdisp {\exp \left( z+w \right) = \exp z \cdot \exp w} { }
für
\mathl{z,w \in {\mathbb C}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit Konvergenzradius $r >0$. Es sei
\mathl{I \subseteq \N}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
mit
\mathdisp {b_n = \begin{cases} a_n,\, \text{ falls } n \in I, \\ 0 \text{ sonst}, \end{cases}} { }
ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius
\mathl{\geq r}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \cos ( \ln x ) } {.}

a) Bestimme die Ableitung $f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {e^{x^2} -x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis zur Ordnung $4$ \zusatzklammer {man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad $4$ zum Entwicklungspunkt $1$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ x^3+x }{ x^2-1 } }} { }
für $x > 1$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=2 \text{ mit } y (5) = 3} { . }

}
{} {}


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