Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 4 4 3 2 8 6 5 3 2 4 4 3 2 4 5 4 1 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  3. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  4. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  5. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  6. Die Kosinusreihe zu .
  7. Eine Stammfunktion einer Abbildung auf einer offenen Menge .
  8. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  3. Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  4. Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil und den Imaginärteil von .
  5. Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  6. Die Reihe

    heißt die Kosinusreihe zu .

  7. Eine Funktion

    heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.

  8. Eine Differentialgleichung der Form

    mit zwei auf einem Intervall definierten Funktionen und heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Das Schubfachprinzip (oder Taubenschlagprinzip).
  3. Der Zwischenwertsatz.
  4. Die Quotientenregel für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).


Lösung

  1. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|beschränkte]] Folge von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]]. Dann besitzt die Folge eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|konvergente]] Teilfolge.
  2. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|endliche Menge]] mit Elementen und eine endliche Menge mit Elementen. Es sei . Dann gibt es keine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|injektive Abbildung]]
  3. Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und . Dann gibt es ein mit .
  4. Sei [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|offen]], ein Punkt und

    zwei Funktionen, die in [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|differenzierbar]] seien. Wenn keine Nullstelle in besitzt, so ist differenzierbar in mit


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Lösung

Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen bewiesen, die von den natürlichen Zahlen abhängen. Man beweist zuerst die Aussage . Ferner zeigt man, dass man für alle aus der Gültigkeit von auf die Gültigkeit von schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von für alle .


Aufgabe (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Lösung

Seien gegeben mit . Wir müssen zeigen, dass ist. Es ist

Da nach Voraussetzung injektiv ist, folgt , wie gewünscht.


Aufgabe (8 (2+1+2+1+2) Punkte)

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Lösung

(a) Die Eigenschaft folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels

Das strenge Fallen ergibt sich daraus durch

(b) Die Konstanz ergibt sich durch Induktion, wobei die Voraussetzung den Induktionsanfang sichert und der Induktionsschluss aus

folgt.

(c) Die Eigenschaft folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels

Das strenge Wachstum ergibt sich daraus durch

(d) Nach (a), (b), (c) ist die Folge in jedem Fall monoton und beschränkt, daher konvergiert sie in .

(e) Der Grenzwert sei . Es gilt

Wir wenden die Rechenregeln für Limiten auf die Rekursionsvorschrift an und erhalten

Daraus ergibt sich .


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.


Lösung

Die Folge sei durch

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist . Sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

mit . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl .


Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche, ob die Reihe

konvergiert oder divergiert.


Lösung

Für ist

und für ist

Daher gilt für die Reihenglieder für die Abschätzung

Die Reihe konvergiert nach Beispiel 9.12 und dies gilt auch für . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch

und daher konvergiert auch die in Frage stehende Reihe.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

streng wachsende Funktionen, die auf übereinstimmen. Folgt daraus ?


Lösung

Wir betrachten die beiden Funktionen

und

Beide Funktionen sind streng wachsend und stimmen auf und insbesondere auf überein. Es ist aber , so dass die beiden Funktionen verschieden sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

Es ist und und . Da als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist.


Lösung

Die Funktion ist eine rationale Funktion von nach , also stetig. Für konvergiert der Nenner gegen , so dass die Funktion unbeschränkt ist. Eine auf einem abgeschlossenen Intervall definierte stetige Funktion ist aber nach Satz 13.9 beschränkt, so dass nicht die Einschränkung einer stetigen Funktion sein kann. Die Abbildung ist also nicht surjektiv.

Für eine stetige Funktion gilt

und

Die stetige Funktion ist also durch ihre Werte auf dem offenen Intervall eindeutig bestimmt, so dass injektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität

für .


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

mit

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ist.


Lösung

Wir müssen zeigen, dass die Reihe für jedes , , absolut konvergiert. Es ist

Für die Reihenglieder gilt

Da die Reihe nach Voraussetzung konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor, so dass auch die Reihe absolut konvergiert.


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Lösung

a) Es ist

b) Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
im Entwicklungspunkt bis zur Ordnung

(man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Lösung

Wir berechnen zuerst die Ableitungen, diese sind

Somit ist

Das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt ist demnach


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu


Lösung

Wir schreiben

Daher ist mit der Substitution

bzw.

Eine Stammfunktion hiervon ist

und damit ist

eine Stammfunktion von


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

für .


Lösung

Es handelt sich um eine rationale Funktion, bei der der Zählergrad größer als der Nennergrad ist. Daher führen wir zuerst die Division mit Rest durch, diese liefert

bzw.

Eine Stammfunktion des hinteren Summanden ist

daher ist insgesamt

eine Stammfunktion von .


Aufgabe (1 Punkt)

Löse das Anfangswertproblem


Lösung

Eine Lösung ist

wie man unmittelbar durch Ableiten und Einsetzen bestätigt.


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