Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/3/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 8 }

\renewcommand{\asechs}{ 6 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 63 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.

}{Die \stichwort {Fakultät} {} einer natürlichen Zahl $n$.

}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.

}{Der \stichwort {Real} {-} und der \stichwort {Imaginärteil} {} einer komplexen Zahl $z$.

}{Die \stichwort {Stetigkeit in einem Punkt} {} $a \in {\mathbb K}$ einer Abbildung $f:{\mathbb K} \rightarrow {\mathbb K}$.

}{Die \stichwort {Kosinusreihe} {} zu
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}

}{Eine \stichwort {Stammfunktion} {} einer Abbildung
\mathl{f:D \rightarrow {\mathbb K}}{} auf einer offenen Menge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}

}{Eine \stichwort {lineare inhomogene} {} gewöhnliche Differentialgleichung. }

}
{

\aufzaehlungacht{Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. }{Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n! }
{ \defeq} { n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Zu einer komplexen Zahl
\mathl{z=a+b { \mathrm i}}{} nennt man $a$ den Realteil und $b$ den Imaginärteil von $z$. }{Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem
\mathl{\epsilon >0}{} ein
\mathl{\delta > 0}{} derart gibt, dass für alle $x$ mit
\mathl{\betrag { a-x } \leq \delta}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { f(a)-f(x) } \leq \epsilon}{} gilt. }{Die Reihe
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n} }{(2n)!}} { }
heißt die Kosinusreihe zu $z$. }{Eine Funktion \maabbdisp {F} {D} { {\mathbb K} } {} heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $D$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist und
\mathl{F'(x)=f(x)}{} für alle
\mathl{x \in D}{} gilt. }{Eine \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} der Form
\mathdisp {y'=g(t)y +h(t)} { }
mit zwei auf einem \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{I \subseteq \R}{} definierten \definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\mathl{t \mapsto g(t)}{} und
\mathl{t \mapsto h(t)}{} heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung. }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Der \stichwort {Satz von Bolzano-Weierstraß} {.}}{Das \stichwort {Schubfachprinzip} {} (oder \stichwort {Taubenschlagprinzip} {}).}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Die \stichwort {Quotientenregel} {} für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).}

}
{

\aufzaehlungvier{Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.}{Es sei $M$ eine endliche Menge mit $m$ Elementen und $N$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen. Es sei
\mathl{m >n}{.} Dann gibt es keine injektive Abbildung \maabbdisp {} {M} {N } {.}}{Seien
\mathl{a \leq b}{} reelle Zahlen und sei \maabb {f} {[a,b]} { \R } {} eine stetige Funktion. Es sei
\mathl{y \in \R}{} eine reelle Zahl zwischen \mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.} Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)=y}{.}}{Sei
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{} offen,
\mathl{a \in D}{} ein Punkt und \maabbdisp {f,g} {D} { {\mathbb K} } {} zwei Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist
\mathl{f/g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mathdisp {(f/g)'(a) = \frac{ f'(a)g(a) - f(a)g'(a) }{(g(a))^2}} { . }
}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

}
{

Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen
\mathl{A(n)}{} bewiesen, die von den natürlichen Zahlen
\mathl{n \in \N}{} abhängen. Man beweist zuerst die Aussage
\mathl{A(0)}{.} Ferner zeigt man, dass man für alle $n$ aus der Gültigkeit von $A(n)$ auf die Gültigkeit von $A(n+1)$ schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von $A(n)$ für alle
\mathl{n \in \N}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {\verknuepfung {f} {g}} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $\verknuepfung {f} {g}$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist auch $f$ injektiv.

}
{

Seien
\mathl{x_ 1,x_2 \in L}{} gegeben mit
\mathl{f(x_1)=f(x_2)}{.} Wir müssen zeigen, dass
\mathl{x_1=x_2}{} ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g \circ f) (x_1) }
{ =} {g( f(x_1)) }
{ =} {g( f(x_2)) }
{ =} {(g \circ f) (x_2) }
{ } { }
} {}{}{.} Da nach Voraussetzung
\mathl{g \circ f}{} injektiv ist, folgt
\mathl{x_1=x_2}{,} wie gewünscht.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{8 (2+1+2+1+2)}
{

Es sei $a \in \R$. Zu einem Startwert $x_0 \in \R$ sei eine reelle Folge rekursiv durch
\mathdisp {x_{n+1} = { \frac{ x_n+a }{ 2 } }} { }
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei $x_0 > a$ ist $x_n > a$ für alle $n \in \N$ und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei $x_0 = a$ ist die Folge konstant.

(c) Bei $x_0 < a$ ist $x_n < a$ für alle $n \in \N$ und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist $a$.

}
{

(a) Die Eigenschaft $x_n > a$ folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung $x_0 > a$ unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } } }
{ >} { { \frac{ a+a }{ 2 } } }
{ =} { a }
{ } { }
} {}{}{.} Das strenge Fallen ergibt sich daraus durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } } }
{ <} { { \frac{ x_n+x_n }{ 2 } } }
{ =} { x_n }
{ } { }
} {}{}{.}

(b) Die Konstanz ergibt sich durch Induktion, wobei die Voraussetzung $x_0 = a$ den Induktionsanfang sichert und der Induktionsschluss aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ a+a }{ 2 } } }
{ =} { a }
{ } { }
} {}{}{} folgt.

(c) Die Eigenschaft $x_n < a$ folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung $x_0 < a$ unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } } }
{ <} { { \frac{ a+a }{ 2 } } }
{ =} { a }
{ } { }
} {}{}{.} Das strenge Wachstum ergibt sich daraus durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } } }
{ >} { { \frac{ x_n+x_n }{ 2 } } }
{ =} { x_n }
{ } { }
} {}{}{.}

(d) Nach (a), (b), (c) ist die Folge in jedem Fall monoton und beschränkt, daher konvergiert sie in $\R$.

(e) Der Grenzwert sei $x$. Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n }
{ =} { x }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n+1} }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Wir wenden die Rechenregeln für Limiten auf die Rekursionsvorschrift an und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n+1} }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ x_n+a }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ x +a }{ 2 } } }
{ } { }
} {}{}{.} Daraus ergibt sich $x=a$.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_0 }
{ \leq} { x_n }
{ \leq} { b_0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine \definitionsverweis {Intervallhalbierung}{}{} derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_0 }
{ \defeq }{ [a_0,b_0] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei das $k$-te Intervall
\mathl{I_{ k }}{} bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
\mathdisp {[a_{ k }, \frac{ a_{ k }+b_{ k } }{2}] \text{ und } [ \frac{a_{ k }+b_{ k } }{2},b_{ k }]} { . }
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall
\mathl{I_{ k +1}}{} eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n_k} }
{ \in} { I_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_{ k } }
{ > }{ n_{ k-1 } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 7.10 gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl $x$.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Untersuche, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
konvergiert oder divergiert.

}
{

Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2n+5 }
{ \leq} {3n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4n^3-3n+2 }
{ =} { n^3 +3n^3-3n +2 }
{ \geq} { n^3 +3 n (n^2-1) }
{ \geq} { n^3 }
{ } { }
} {}{}{.} Daher gilt für die Reihenglieder für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } } }
{ \leq} { { \frac{ 3n }{ 4n^3-3n+2 } } }
{ \leq} { { \frac{ 3n }{ n^3 } } }
{ =} { 3 { \frac{ 1 }{ n^2 } } }
{ } { }
} {}{}{.} Die Reihe
\mathl{\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } }}{} konvergiert nach Beispiel 9.12 und dies gilt auch für
\mathl{\sum_{n=1}^\infty 3 { \frac{ 1 }{ n^2 } }}{.} Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch
\mathdisp {\sum_{n=5}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
und daher konvergiert auch die in Frage stehende Reihe.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} streng wachsende Funktionen, die auf
\mathl{\Q}{} übereinstimmen. Folgt daraus
\mathl{f=g}{?}

}
{

Wir betrachten die beiden Funktionen
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x ,\, \text{falls } x < \sqrt{2} \, , \\ x+1,\, \text{falls } x \geq \sqrt{2} \, , \end{cases}} { }
und
\mathdisp {g(x) = \begin{cases} x ,\, \text{falls } x \leq \sqrt{2} \, , \\ x+1,\, \text{falls } x > \sqrt{2} \, . \end{cases}} { }
Beide Funktionen sind streng wachsend und stimmen auf
\mathl{\R \setminus \{ \sqrt{2} \}}{} und insbesondere auf
\mathl{\Q}{} überein. Es ist aber
\mathl{f( \sqrt{2} ) \neq g(\sqrt{2})}{,} so dass die beiden Funktionen verschieden sind.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?

}
{

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} {x^3 -4 x^2 }
{ =} { \sqrt{42} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(5) }
{ = }{ 25 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{\sqrt{42} }
{ \leq }{ 25 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da $f$ als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{\sqrt{42} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es seien
\mathl{b >a}{} reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} {C^0([a,b],\R) } {C^0(]a,b[,\R) } {f} { f{{|}}_{]a,b[} } {.} Zeige, dass $\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.

}
{

Die Funktion $f(x)= { \frac{ 1 }{ (x-a)(x-b) } }$ ist eine rationale Funktion von $]a,b[$ nach $\R$, also stetig. Für $x \rightarrow a$ konvergiert der Nenner gegen $0$, so dass die Funktion unbeschränkt ist. Eine auf einem abgeschlossenen Intervall definierte stetige Funktion ist aber nach Satz 13.9 beschränkt, so dass $f$ nicht die Einschränkung einer stetigen Funktion
\mathl{g:[a,b] \rightarrow \R}{} sein kann. Die Abbildung
\mathl{\Psi}{} ist also nicht surjektiv.

Für eine stetige Funktion
\mathl{g:[a,b] \rightarrow \R}{} gilt
\mathdisp {\operatorname{lim}_{x \in ]a,b[ , x \rightarrow a} g(x) = g(a)} { }
und
\mathdisp {\operatorname{lim}_{x \in ]a,b[ , x \rightarrow b} g(x) = g(b)} { . }
Die stetige Funktion
\mathl{g}{} ist also durch ihre Werte auf dem offenen Intervall
\mathl{]a,b[}{} eindeutig bestimmt, so dass
\mathl{\Psi}{} injektiv ist.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität
\mathdisp {\exp \left( z+w \right) = \exp z \cdot \exp w} { }
für
\mathl{z,w \in {\mathbb C}}{.}

}
{

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit Konvergenzradius $r >0$. Es sei
\mathl{I \subseteq \N}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
mit
\mathdisp {b_n = \begin{cases} a_n,\, \text{ falls } n \in I, \\ 0 \text{ sonst}, \end{cases}} { }
ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius
\mathl{\geq r}{} ist.

}
{

Wir müssen zeigen, dass die Reihe für jedes
\mathl{z \in {\mathbb C}}{,} $\betrag { z } < r$, absolut konvergiert. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n \in \N} \betrag { b_nz^n } }
{ =} { \sum_{n \in \N} \betrag { b_n } \betrag { z }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für die Reihenglieder gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { b_n } \betrag { z }^n }
{ \leq} { \betrag { a_n } \betrag { z }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da die Reihe
\mathl{\sum_{n \in \N} \betrag { a_n } \betrag { z }^n}{} nach Voraussetzung konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor, so dass auch die Reihe
\mathl{\sum_{n \in \N} b_n z^n}{} absolut konvergiert.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \cos ( \ln x ) } {.}

a) Bestimme die Ableitung $f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ x } } \cdot \sin \left( \ln x \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime}(x) }
{ =} { - { \left( { \frac{ \sin \left( \ln x \right) }{ x } } \right) }^\prime }
{ =} { - { \frac{ \cos \left( \ln x \right) - \sin \left( \ln x \right) }{ x^2 } } }
{ =} { -{ \frac{ \cos \left( \ln x \right) }{ x^2 } } +{ \frac{ \sin \left( \ln x \right) }{ x^2 } } }
{ } { }
} {} {}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {e^{x^2} -x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis zur Ordnung $4$ \zusatzklammer {man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad $4$ zum Entwicklungspunkt $1$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen} {} {.}

}
{

Wir berechnen zuerst die Ableitungen, diese sind
\mathdisp {f^\prime(x) = 2x e^{x^2} -1} { , }

\mathdisp {f^{\prime \prime}(x) = 2 e^{x^2} +2x 2x e^{x^2} ={ \left(2+4x^2\right) } e^{x^2}} { , }

\mathdisp {f^{\prime \prime \prime}(x) = { \left(8 x\right) } e^{x^2}+ 2x { \left(2+4x^2\right) } e^{x^2} = { \left(12 x +8x^3\right) } e^{x^2}} { , }

\mathdisp {f^{\prime \prime \prime \prime}(x) = { \left(12 +24x^2\right) } e^{x^2}+ 2x { \left(12 x +8x^3\right) } e^{x^2} = { \left(12 +48x^2 + 16x^4\right) } e^{x^2}} { . }
Somit ist
\mathdisp {f(1)= e-1, \, f^\prime(1)= 2e-1 , \, f^{\prime \prime} (1)= 6e, \,f^{\prime \prime \prime} (1)= 20e , \, f^{\prime \prime \prime \prime} (1) = 76 e} { . }
Das Taylor-Polynom vom Grad $4$ zum Entwicklungspunkt $1$ ist demnach
\mathdisp {e-1 + { \left(2e-1\right) } { \left(x-1\right) } + 3e { \left(x-1\right) }^2 + { \frac{ 10 e }{ 3 } } { \left(x-1\right) }^3+{ \frac{ 19 e }{ 6 } } { \left(x-1\right) }^4} { }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }

}
{

Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{3x^2 +5x-4 }
{ =} { { \left( \sqrt{3} x + { \frac{ 5 }{ 2 \sqrt{3} } } \right) }^2 - { \frac{ 25 }{ 12 } } - 4 }
{ =} { { \left( \sqrt{3} x + { \frac{ 5 }{ 2 \sqrt{3} } } \right) }^2 - { \frac{ 73 }{ 12 } } }
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } } \left( ({ \frac{ \sqrt{12} \sqrt{3} }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 \sqrt{12} }{ 2 \sqrt{3} \sqrt{73} } })^2 - 1 \right) }
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } } \left( \left({ \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } }\right)^2 - 1 \right) }
} {} {}{.} Daher ist mit der Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u }
{ =} { { \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { { \frac{ \sqrt{73} }{ 6 } } u - { \frac{ 5 }{ 6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ }^{ } \sqrt{3x^2+5x-4} \, d x }
{ =} { \int_{ }^{ } \sqrt{ { \frac{ 73 }{ 12 } } (u^2-1) } \cdot { \frac{ \sqrt{73} }{ 6 } } \, d u }
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 \sqrt{3} } } \int_{ }^{ } \sqrt{ u^2-1 } \, d u }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Eine Stammfunktion hiervon ist
\mathdisp {{ \frac{ 73 }{ 12 \sqrt{3} } } { \frac{ 1 }{ 2 } } (u \sqrt{u^2-1} - \, \operatorname{arcosh} \, u \, )} { }
und damit ist
\mathdisp {{ \frac{ 73 }{ 24 \sqrt{3} } } \left( ({ \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } }) \sqrt{( { \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } } )^2 -1 } - \, \operatorname{arcosh} \, ({ \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } }) \, \right)} { }
eine Stammfunktion von
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ x^3+x }{ x^2-1 } }} { }
für $x > 1$.

}
{

Es handelt sich um eine rationale Funktion, bei der der Zählergrad größer als der Nennergrad ist. Daher führen wir zuerst die Division mit Rest durch, diese liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3+x }
{ =} { (x^2-1) x +2x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x^3+x }{ x^2-1 } } }
{ =} { x + 2 { \frac{ x }{ x^2-1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Eine Stammfunktion des hinteren Summanden ist
\mathdisp {\ln { \left(x^2 -1\right) }} { , }
daher ist insgesamt
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + \ln { \left(x^2 -1\right) }} { }
eine Stammfunktion von
\mathl{{ \frac{ x^3+x }{ x^2-1 } }}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=2 \text{ mit } y (5) = 3} { . }

}
{

Eine Lösung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(x) }
{ =} {2x-7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wie man unmittelbar durch Ableiten und Einsetzen bestätigt.

}


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