Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/4/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 4 4 2 3 7 4 4 4 3 5 7 4 3 10 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine bijektive Abbildung
  2. Ein Körper.
  3. Eine Teilfolge einer Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Das Maximum der Funktion
    wird im Punkt

    angenommen.

  5. Die Potenzreihe in zu den Koeffizienten , .
  6. Die -fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion

    auf einer offenen Teilmenge .

  7. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  8. Eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper .
  2. Die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .
  3. Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
    (welche Voraussetzungen muss die Funktion und das Intervall erfüllen)?
  4. Der Satz über partielle Integration.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .


Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es seien die beiden Polynome

gegeben.

a) Berechne (es soll also in eingesetzt werden).

b) Berechne die Ableitung von direkt und mit Hilfe der Kettenregel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei und seien

stetige Funktionen mit

Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe * (5 Punkte)

Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (7 (3+3+1) Punkte)

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

b)

c)


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die Funktion

die Extrema.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise, dass eine stetige Funktion

Riemann-integrierbar ist.

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