Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/4/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 7 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 7 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asechzehn}{ }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellevierzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {bijektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {M} {N } {.}

}{Ein \stichwort {Körper} {.}

}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Das \stichwort {Maximum} {} der Funktion \maabbdisp {f} {M} {\R } {} wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \stichwort {angenommen} {.}

}{Die \stichwort {Potenzreihe} {} in $z \in {\mathbb C}$ zu den Koeffizienten
\mathbed {c_n \in {\mathbb C}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}

}{Die $n$-fache \stichwort {stetige Differenzierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K} } {} auf einer offenen Teilmenge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}

}{Eine \stichwort {obere Treppenfunktion} {} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}

}{Eine \stichwort {homogene lineare eindimensionale} {} gewöhnliche Differentialgleichung. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {} für einen angeordneten Körper $K$.}{Die \stichwort {Division mit Rest} {} im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}{Der \stichwort {Satz über das angenommene Maximum} {} einer Funktion \maabbdisp {f} { I } {\R } {} \zusatzklammer {welche Voraussetzungen muss die Funktion $f$ und das Intervall $I$ erfüllen} {} {?}}{Der Satz über \stichwort {partielle Integration} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $x \in \R_{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes $\epsilon \in \R,\, \epsilon >0$, gelte $x \leq \epsilon$. Zeige $x = 0$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch \zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{

Es seien die beiden Polynome
\mathdisp {P=X^2+3X-5 \text{ und } Q= X^2-4X+7} { }
gegeben.

a) Berechne
\mathl{P(Q)}{} \zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}

b) Berechne die Ableitung von
\mathl{P(Q)}{} direkt und mit Hilfe der Kettenregel.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a) }
{ >} {g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ >} {g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zu einem Startwert
\mathl{x_0 \in [0, { \frac{ \pi }{ 2 } }]}{} sei eine Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ \defeq} {\sin x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Entscheide, ob
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7 (3+3+1)}
{

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } } }
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme für die Funktion
\mathdisp {f(x)= 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } \right) }^x} { }
die Extrema.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Berechne das bestimmte Integral
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1} } } dx} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{10}
{

Beweise, dass eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} { \R } {} \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.

}
{} {}

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