Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/4/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 4 4 2 3 7 4 4 4 3 5 7 4 3 10 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine bijektive Abbildung
  2. Ein Körper.
  3. Eine Teilfolge einer Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Das Maximum der Funktion
    wird im Punkt

    angenommen.

  5. Die Potenzreihe in zu den Koeffizienten , .
  6. Die -fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion

    auf einer offenen Teilmenge .

  7. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  8. Eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.


Lösung

  1. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
  2. Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt .
  3. Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.

  4. Man sagt, dass in das Maximum annimmt, wenn
  5. Die Potenzreihe in ist die Reihe
  6. Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung stetig ist.
  7. Eine Treppenfunktion

    heißt eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.

  8. Eine Differentialgleichung der Form

    mit einer Funktion ( reelles Intervall)

    heißt homogene lineare Differentialgleichung.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper .
  2. Die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .
  3. Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
    (welche Voraussetzungen muss die Funktion und das Intervall erfüllen)?
  4. Der Satz über partielle Integration.


Lösung

  1. Für und ist
  2. Es seien zwei Polynome mit . Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit
  3. Sei ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

    eine

    stetige Funktion. Dann gibt es ein mit
  4. Es seien

    [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|stetig differenzierbare]] Funktionen. Dann gilt


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .


Lösung

Wir nehmen an. Dann ist . Dann ist auch und die Voraussetzung, angewandt auf , ergibt , woraus sich durch beidseitige Subtraktion von der Widerspruch ergibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Lösung

Die Formel für lautet

Daher ist

Somit ist

Schließlich ist


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.


Lösung

Sei zunächst die Folge konvergent mit Grenzwert . Dann ist die Folge nach Lemma 5.8 beschränkt. Der Grenzwert ist insbesondere ein Häufungspunkt. Nehmen wir an, es würde noch einen weiteren Häufungspunkt geben. Für liegen dann aber alle bis auf endlich viele Folgenglieder innerhalb der -Umgebung (also ) von , und daher kann es innerhalb der -Umgebung von nur endlich viele Glieder geben.

Sei nun die Folge beschränkt mit dem einzigen Häufungspunkt . Wir behaupten, dass die Folge gegen konvergiert und nehmen an, dass sie nicht gegen konvergiert. Dann gibt es ein derart, dass es außerhalb der -Umgebung von unendlich viele Folgenglieder gibt. Dies bedeutet, dass es eine Teilfolge gibt, die ganz außerhalb von verläuft. Mit der Folge ist auch diese Teilfolge beschränkt. Daher gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (eine konvergente Teilfolge und) einen Häufungspunkt der Folge , der auch ein Häufungspunkt von ist. Dabei ist , da es in der -Umgebung von überhaupt keine Folgenglieder der Teilfolge gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es seien die beiden Polynome

gegeben.

a) Berechne (es soll also in eingesetzt werden).

b) Berechne die Ableitung von direkt und mit Hilfe der Kettenregel.


Lösung

a) Es ist

b) Die Ableitung von ist

Es ist und

Nach der Kettenregel ist daher


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und seien

stetige Funktionen mit

Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.


Lösung

Sei

Da und stetig sind, gibt es zu

positive Zahlen bzw. derart, dass aus die Abschätzung und aus die Abschätzung folgt. Mit

gilt somit für jedes die Abschätzung


Aufgabe (3 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?


Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

Für und ist , es kann also allenfalls in eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt

An den beiden Nullstellen und sind die Werte

und

Also ist das Minimum von größer als und es gibt keine Lösung.


Aufgabe (5 Punkte)

Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir betrachten die Funktion

auf . Wegen

ist dies positiv für und gleich für . Daher ist streng wachsend und es gilt

für und . Daher ist die Folge zu jedem Startwert fallend und konvergiert gegen einen Grenzwert, da alle Folgenglieder nichtnegativ sind. Es sei der Grenzwert, der wieder zu gehören muss. Wegen der rekursiven Beziehung

und der Stetigkeit des Sinus folgt

Nach den bisherigen Überlegungen muss sein. Die Folge konvergiert also bei jedem Startwert gegen .


Aufgabe (7 (3+3+1) Punkte)

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

b)

c)


Lösung

a) Es ist nach Satz 21.3  (3). Daher ist

da Kosinus eine gerade Funktion ist. Aus

ergibt sich

Da ist, ist

b) Nach den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus ist

Für ist also

Wegen

ist somit

woraus sich

ergibt. Da positiv ist, folgt

c) Aus

folgt

woraus sich wegen der Positivität von schließlich

ergibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Funktion

die Extrema.


Lösung

Wir schreiben

Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist

Die Bedingung führt durch Multiplikation mit auf

Daher muss

sein, woraus sich

also

ergibt. Die zweite Ableitung ist

und somit positiv, also liegt im angegebenen Punkt ein isoliertes lokales Minimum vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Lösung

Wir arbeiten mit der bijektiven Substitution

mit der Umkehrfunktion

und

Somit ist


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise, dass eine stetige Funktion

Riemann-integrierbar ist.


Lösung

Die stetige Funktion ist auf dem kompakten Intervall beschränkt nach Korollar 13.10. Daher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und daher existieren Oberintegral und Unterintegral. Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen eine untere und eine obere Treppenfunktion für anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale ist. Nach Lemma 14.2 ist gleichmäßig stetig. Daher gibt es zu ein derart, dass für alle  mit die Abschätzung gilt. Sei nun so, dass ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten . Auf den Teilintervallen , , ist der Abstand zwischen dem Maximum

und dem Minimum

kleiner/gleich . Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also

und

sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu . Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann

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