Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	4	4	4	4	3	6	7	5	3	1	5	3	10	3	2	64

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$ .
Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ .
Die bestimmte Divergenz gegen ${}+\infty$ einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
Die reelle Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$ .
Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge
$f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {K} ,$

wobei ${}T$ eine Menge ist.
Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ${}t$ zu einer Funktion
$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ .
Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
$y'=f(t,y),$

wobei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Die Quotientenregel für die Ableitung, also die Formel für die Ableitung von ${}{\frac {f}{g}}$ (mit den Voraussetzungen an ${}f$ und ${}g$ ).

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von ${}M$ in die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ geben kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für

{}n\geq 10\,

die Abschätzung

{}3^{n}\geq n^{4}\,

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

{}x_{n}={\frac {3n^{\frac {5}{4}}-2n^{\frac {4}{3}}+n}{4n^{\frac {7}{5}}+5n^{\frac {1}{2}}+1}}\,

(mit ${}n\geq 1$ ) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (6 Punkte)

Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall ${}[-5,3]$ maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal ${}0,001$ cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?

Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass eine stetige Funktion

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\sqrt[{3}]{x^{2}}}.

Bestimme die Punkte ${}x\in \mathbb {R}$ , in denen ${}f$ differenzierbar ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde die Punkte (bzw. den Punkt) ${}a\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ derart, dass die Steigung der Sinusfunktion ${}\operatorname {sin}$ in ${}a$ gleich der Gesamtsteigung von ${}\operatorname {sin}$ zwischen ${}0$ und ${}{\frac {\pi }{2}}$ ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion

\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x)=\pi ^{x}+x^{e}.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von ${}f$ .

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von ${}f$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}f\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}a\in \mathbb {R}$ . Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei

s_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

diejenige untere Treppenfunktion zu ${}f$ zur äquidistanten Unterteilung in ${}n$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

I_{j}=[a+{\frac {(j-1)(b-a)}{n}},a+{\frac {j(b-a)}{n}}[,\,j=1,\ldots ,n,

(für ${}j=n$ sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von ${}f(x)$ , ${}x\in I_{j}$ , annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu ${}s_{n}$ gegen ${}\int _{a}^{b}f(x)dx$ konvergiert.