Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/5/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 4 4 3 6 7 5 3 1 5 3 10 3 2 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Die bestimmte Divergenz gegen einer Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Der Polynomring über einem Körper (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
  5. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis .
  6. Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

    wobei eine Menge ist.

  7. Die Obersumme zu einer oberen Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  8. Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

    wobei

    eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  2. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
  3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  4. Die Quotientenregel für die Ableitung, also die Formel für die Ableitung von (mit den Voraussetzungen an und ).


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von in die Potenzmenge geben kann.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für

die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (6 Punkte)

Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?


Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass eine stetige Funktion

gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Punkte , in denen differenzierbar ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Finde die Punkte (bzw. den Punkt) derart, dass die Steigung der Sinusfunktion in gleich der Gesamtsteigung von zwischen und ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von .

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad und . Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt mit übereinstimmt.


Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu sei

diejenige untere Treppenfunktion zu zur äquidistanten Unterteilung in gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

(für sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von , , annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu gegen konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion ()


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

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