Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung
.
- Eine Ordnungsrelation
auf einer Menge
.
- Die bestimmte Divergenz gegen
einer Folge
in einem angeordneten Körper
.
- Der
Polynomring
über einem Körper
(einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
- Die
reelle Exponentialfunktion
zur Basis
.
- Die
punktweise Konvergenz
einer Funktionenfolge
-
wobei
eine Menge ist.
- Das
obere Treppenintegral
zu einer oberen Treppenfunktion
zu einer Funktion
-
auf einem beschränkten Intervall
.
- Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
-
wobei
-
eine
Funktion
auf einer offenen Teilmenge
ist.
Lösung
- Die Abbildung
-
die jedes Element
auf das eindeutig bestimmte Element
mit
abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu
.
- Die
Relation
heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Aus
und
folgt stets
.
- Aus
und
folgt
.
- Die
Folge
heißt bestimmt divergent gegen
, wenn es zu jedem
ein
gibt mit
-
- Der Polynomring über einem
Körper
besteht aus allen Polynomen
-

mit
,
, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
-

definiert ist.
- Die
Funktion
-
heißt Exponentialfunktion zur Basis
.
- Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes
die
Folge
-
in
konvergiert.
- Zur
oberen Treppenfunktion
-
von
zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt das
Treppenintegral
-
eine oberes Treppenintegral von
auf
.
- Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine
Funktion
-
auf einem mehrpunktigen
Intervall
, die folgende Eigenschaften erfüllt.
- Es ist
für alle
.
- Die Funktion
ist differenzierbar.
- Es ist
für alle
.
Lösung
- Es seien
und
reelle Folgen. Es gelte
-
und
und
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert
. Dann konvergiert auch
gegen diesen Grenzwert
.
- Für komplexe Zahlen
gilt
-

- Sei
und sei
-
eine stetige, auf
differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein
mit
-

- Es sei
eine offene Menge,
ein Punkt und
-
Funktionen, die beide in
differenzierbar seien und wobei
keine Nullstelle in
besitze. Dann ist
differenzierbar in
mit
-
Lösung
Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung
-
gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir
-
Da dies eine Teilmenge von

ist, muss es wegen der Surjektivität ein

geben mit
-
Es gibt nun zwei Fälle, nämlich

oder

. Im ersten Fall ist also

, und damit, nach der Definition von

, auch

, Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von

,

, und das ist ebenfalls ein Widerspruch.
Beweise durch Induktion, dass für
-

die Abschätzung
-

gilt.
Lösung
Induktionsanfang für
. Es ist
-

Zum Induktionsschluss sei

. Dann ist
-

Andererseits ist nach der binomischen Formel
-

Wir müssen
-

nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils
, mindestens
so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus
(da
), aus
, da ja
ist, aus
und aus
.
Entscheide, ob die
reelle Folge
-

(mit
)
in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Lösung
Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall
maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal
cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?
Lösung
Wir betrachten zur Exponentialreihe
die Teilpolynome
-

Die Differenz der Exponentialfunktion zu diesen Polynomen ist somit
-
und der Betrag davon soll für jedes
maximal gleich
sein. Wegen
-

müssen wir
so wählen, dass
-

ist. Wir betrachten

Bei
liegt rechts eine geometrische Reihe vor, bei
ist deren Wert maximal gleich
. Bei
(bzw.
)
können wir grob abschätzen

Wegen
ist dies bei
kleiner als
. Daher ist
ein Polynom, das die Exponentialfunktion wie gewünscht approximiert.
Zeige, dass eine stetige Funktion
-
gleichmäßig stetig ist.
Lösung
Wir nehmen an, dass
nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass es für alle
ein Punktepaar
mit
und
gibt.
Insbesondere gibt es somit für jedes
eine Punktepaar
mit
und
.
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß
besitzt die Folge
eine in
konvergente
Teilfolge,
deren Grenzwert, nennen wir ihn
, wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge
gegen
konvergiert. Die Folge
konvergiert ebenfalls gegen
. Wegen der Stetigkeit konvergieren dann
nach dem Folgenkriterium
auch die beiden Bildfolgen
und
gegen
. Es sei nun
.
Dann ist für
hinreichend groß sowohl
als auch
. Dies ergibt
mit der Dreiecksungleichung
einen Widerspruch zu
.
Wir betrachten die Funktion
-
Bestimme die Punkte
, in denen
differenzierbar ist.
Lösung
Lösung
Bestimme die Ableitung der Funktion
-
Lösung
Es ist
-

Wir betrachten die Funktion
-
a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
c) Bestimme das Bild von
.
d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
e) Skizziere den Funktionsgraphen von
.
Lösung
a) Die Ableitung von
ist
-
Dies ist stets positiv, so dass die Funktion auf den beiden Teilintervallen

und

jeweils streng wachsend ist. Insgesamt ist die Funktion aber nicht wachsend, da die Werte zu negativem

stets größer als die Werte zu positivem

sind.
b) Für
ist
, da der Exponent positiv ist. Für
ist
, da der Exponent negativ ist. Daher haben insbesondere negative und positive reellen Zahlen unter
unterschiedliche Werte. Da im negativen Bereich als auch im positiven Bereich strenges Wachstum vorliegt, ist die Abbildung insgesamt injektiv.
c) Für negatives
durchläuft
sämtliche positiven Zahlen, so dass
das offene Intervall
durchläuft. Für positives
durchläuft
sämtliche negativen Zahlen, so dass
das offene Intervall
durchläuft. Das Bild ist also
.
d) Aus
folgt durch Äquivalenzumformungen
und damit
, die Umkehrabbildung ist also
-
e)
Lösung
Es sei
-
eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu
sei
-
diejenige untere Treppenfunktion zu
zur äquidistanten Unterteilung in
gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall
-
(für
sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen)
das Infimum von
,
,
annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu
gegen
konvergiert.
Lösung
Es sei
. Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen
derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen
konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den
gilt. Sei
vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu
ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
-

gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu
mit dem Treppenintegral zu
. Es sei
die Anzahl der Unterteilungspunkte von
und es sei
eine absolute Schranke für
. Insbesondere ist
-

und
-

Wir wählen
so, dass
-

ist. Sei
fixiert. Von den
Teilintervallen gibt es maximal
Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu
liegt. Es sei
die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall
mit
ist
konstant und es gilt dort
-

und entsprechend
-

Auf einem Intervall
mit
ist
-

und
-

Insgesamt ergibt sich

Bestimme eine
Stammfunktion
für die
Funktion
(
)
-
Lösung
Die
Stammfunktion
von
-
berechnet sich unter Verwendung von
Lemma 27.4
folgendermaßen.
-

Eine Stammfunktion von
ist
. Daher ist
-
eine Stammfunktion von
.
Löse das
Anfangswertproblem
-
Lösung
Die Stammfunktionen zu
sind
-

Die Bedingung
-

führt auf
-

also
-
