Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 4 4 3 6 7 5 3 1 5 3 10 3 2 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Die bestimmte Divergenz gegen einer Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Der Polynomring über einem Körper (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
  5. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis .
  6. Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

    wobei eine Menge ist.

  7. Die Obersumme zu einer oberen Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  8. Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

    wobei

    eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ist.


Lösung

  1. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  2. Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .
  3. Die Folge heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein gibt mit
  4. Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen

    mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.

  5. Die Funktion

    heißt Exponentialfunktion zur Basis .

  6. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

    in konvergiert.

  7. Zu einer oberen Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

    eine Obersumme von auf .

  8. Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion

    auf einem mehrpunktigen Intervall , die folgende Eigenschaften erfüllt.

    1. Es ist für alle .
    2. Die Funktion ist differenzierbar.
    3. Es ist für alle .


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  2. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
  3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  4. Die Quotientenregel für die Ableitung, also die Formel für die Ableitung von (mit den Voraussetzungen an und ).


Lösung

  1. Es seien und [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reelle Folgen]]. Es gelte

    und und

    konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
  2. Für [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|komplexe Zahlen]] gilt
  3. Sei und sei

    eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|stetige]], auf differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein mit

  4. Es sei eine offene Menge, ein Punkt und

    Funktionen, die beide in differenzierbar seien und wobei keine Nullstelle in besitze. Dann ist differenzierbar in mit


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von in die Potenzmenge geben kann.


Lösung

Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung

gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir
Da dies eine Teilmenge von ist, muss es wegen der Surjektivität ein geben mit
Es gibt nun zwei Fälle, nämlich oder . Im ersten Fall ist also , und damit, nach der Definition von , auch , Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von , , und das ist ebenfalls ein Widerspruch.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für

die Abschätzung

gilt.


Lösung

Induktionsanfang für . Es ist

Zum Induktionsschluss sei . Dann ist
Andererseits ist nach der binomischen Formel

Wir müssen

nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils , mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus (da ), aus , da ja ist, aus und aus .


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir erweitern mit und erhalten

Folgen der Form , , konvergieren gegen , nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen .


Aufgabe (6 Punkte)

Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?


Lösung

Wir betrachten zur Exponentialreihe die Teilpolynome

Die Differenz der Exponentialfunktion zu diesen Polynomen ist somit

und der Betrag davon soll für jedes maximal gleich sein. Wegen

müssen wir so wählen, dass

ist. Wir betrachten

Bei

liegt rechts eine geometrische Reihe vor, bei ist deren Wert maximal gleich . Bei (bzw. ) können wir grob abschätzen

Wegen ist dies bei kleiner als . Daher ist ein Polynom, das die Exponentialfunktion wie gewünscht approximiert.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass eine stetige Funktion

gleichmäßig stetig ist.


Lösung

 Wir nehmen an, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein mit der Eigenschaft, dass es für alle ein Punktepaar mit und gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes eine Punktepaar mit und . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine in konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn , wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge gegen konvergiert. Die Folge konvergiert ebenfalls gegen . Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen und gegen . Es sei nun . Dann ist für hinreichend groß sowohl als auch . Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu .


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Punkte , in denen differenzierbar ist.


Lösung

Die Funktion ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle gleich . Daher ist die Umkehrfunktion für differenzierbar. Daher ist auch als Hintereinanderschaltung von und dieser Funktion für differenzierbar.

Für betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für den Ausdruck

Wir betrachten positive und können den Nenner als

schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich

Für steht hier und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist in nicht differenzierbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Punkte (bzw. den Punkt) derart, dass die Steigung der Sinusfunktion in gleich der Gesamtsteigung von zwischen und ist.


Lösung

Die Gesamtsteigung ist

Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, es geht also um die Lösungen der Gleichung

mit . Auf diesem Intervall ist die Kosinusfunktion streng fallend und somit gibt es wegen genau eine Lösung, nämlich bei


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von .

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von .


Lösung

a) Die Ableitung von ist

Dies ist stets positiv, so dass die Funktion auf den beiden Teilintervallen und jeweils streng wachsend ist. Insgesamt ist die Funktion aber nicht wachsend, da die Werte zu negativem stets größer als die Werte zu positivem sind.

b) Für ist , da der Exponent positiv ist. Für ist , da der Exponent negativ ist. Daher haben insbesondere negative und positive reellen Zahlen unter unterschiedliche Werte. Da im negativen Bereich als auch im positiven Bereich strenges Wachstum vorliegt, ist die Abbildung insgesamt injektiv.

c) Für negatives durchläuft sämtliche positiven Zahlen, so dass das offene Intervall durchläuft. Für positives durchläuft sämtliche negativen Zahlen, so dass das offene Intervall durchläuft. Das Bild ist also .

d) Aus folgt durch Äquivalenzumformungen und damit , die Umkehrabbildung ist also

e)


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad und . Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt mit übereinstimmt.


Lösung

Zu jedem gibt es aufgrund der Taylor-Formel ein mit

wobei der linke Summand das Taylor-Polynom vom Grad ist. Da den Grad besitzt, ist aber die -te Ableitung davon . Daher fällt der rechte Summand weg und stimmt mit dem -ten Taylor-Polynom überein.


Aufgabe (10 Punkte)

Es sei

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu sei

diejenige untere Treppenfunktion zu zur äquidistanten Unterteilung in gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

(für sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von , , annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu gegen konvergiert.


Lösung

Es sei . Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den gilt. Sei vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu mit dem Treppenintegral zu . Es sei die Anzahl der Unterteilungspunkte von und es sei eine absolute Schranke für . Insbesondere ist

und

Wir wählen so, dass

ist. Sei fixiert. Von den Teilintervallen gibt es maximal Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu liegt. Es sei die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall mit ist konstant und es gilt dort

und entsprechend

Auf einem Intervall mit ist

und

Insgesamt ergibt sich


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion ()


Lösung

Die Stammfunktion von

berechnet sich unter Verwendung von Lemma 27.4 folgendermaßen.

Eine Stammfunktion von ist . Daher ist

eine Stammfunktion von .


Aufgabe (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Lösung

Die Stammfunktionen zu sind

Die Bedingung

führt auf

also

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