Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/5/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 6 }

\renewcommand{\asieben}{ 7 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 1 }

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\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 10 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}

}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.

}{Die \stichwort {bestimmte Divergenz} {} gegen $+ \infty$ einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Der \stichwort {Polynomring} {} über einem Körper $K$ \zusatzklammer {einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen} {} {.}

}{Die \stichwort {reelle Exponentialfunktion} {} zur Basis
\mathl{b >0}{.}

}{Die \stichwort {punktweise Konvergenz} {} einer Funktionenfolge \maabbdisp {f_n} {T} {{\mathbb K} } {,} wobei $T$ eine Menge ist.

}{Das \stichwort {obere Treppenintegral} {} zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem beschränkten Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {Lösung} {} zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung
\mathdisp {y'= f(t,y)} { , }
wobei \maabbeledisp {f} {U} {\R } {(t,y)} {f(t,y) } {,} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} auf einer offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq \R^2}{} ist. }

}
{

\aufzaehlungacht{Die Abbildung \maabbdisp {G} {M} {L} {,} die jedes Element
\mathl{y \in M}{} auf das eindeutig bestimmte Element
\mathl{x \in L}{} mit
\mathl{F(x)=y}{} abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$. }{Die \definitionsverweis {Relation}{}{} $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind. \aufzaehlungdrei{Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i \in I$. }{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$. }{Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$. } }{Die \definitionsverweis {Folge}{}{} heißt bestimmt divergent gegen $+ \infty$, wenn es zu jedem
\mathl{s \in K}{} ein
\mathl{N \in \N}{} gibt mit
\mathdisp {x_n \geq s \text{ für alle } n \geq N} { . }
}{Der Polynomring über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ besteht aus allen Polynomen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a_i \in K}{,}
\mathl{n \in \N}{,} und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n \cdot X^m }
{ \defeq} { X^{n+m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist. }{Die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {b^x } {,} heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$. }{Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes
\mathl{x \in T}{} die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }} { }
in ${\mathbb K}$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} }{Zur \definitionsverweis {oberen Treppenfunktion}{}{} \maabbdisp {t} {I} {\R } {} von $f$ zur Unterteilung
\mathbed {a_i} {}
{i=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} heißt das \definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
\mathdisp {T= \sum_{i=1}^n t_i (a_i - a_{i-1})} { }
eine oberes Treppenintegral von $f$ auf $I$. }{Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {y} {I} {\R } {t} {y(t) } {,} auf einem mehrpunktigen \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{I\subseteq \R}{,} die folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungdrei{Es ist
\mathl{(t,y(t)) \in U}{} für alle
\mathl{t \in I}{.} }{Die Funktion $y$ ist differenzierbar. }{Es ist
\mathl{y'(t)=f(t,y(t))}{} für alle
\mathl{t \in I}{.} } }

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für reelle Folgen.}{Die \stichwort {Funktionalgleichung} {} der komplexen Exponentialfunktion.}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Differentialrechnung} {.}}{Die \stichwort {Quotientenregel} {} für die Ableitung, also die Formel für die Ableitung von ${ \frac{ f }{ g } }$ (mit den Voraussetzungen an $f$ und $g$).}

}
{

\aufzaehlungvier{Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} reelle Folgen. Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N} { }
und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}{Für komplexe Zahlen
\mathl{z,w \in {\mathbb C}}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( z+w \right) }
{ =} { \exp z \cdot \exp w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Sei
\mathl{a<b}{} und sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine stetige, auf
\mathl{]a,b[}{} differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein
\mathl{c \in {]a,b[}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c) }
{ =} {\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es sei $D \subseteq {\mathbb K}$ eine offene Menge, $a \in D$ ein Punkt und \maabbdisp {f,g} {D} { {\mathbb K} } {} Funktionen, die beide in $a$ differenzierbar seien und wobei $g$ keine Nullstelle in $D$ besitze. Dann ist
\mathl{f/g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mathdisp {(f/g)'(a) = \frac{ f'(a)g(a) - f(a)g'(a) }{(g(a))^2}} { . }
}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei $M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine \definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{} von $M$ in die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} $\mathfrak {P} \, (M )$ geben kann.

}
{

Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung \maabbeledisp {F} {M} { \mathfrak {P} \, (M ) } {x} {F(x) } {,} gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T }
{ =} { { \left\{ x \in M \mid x \notin F(x) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da dies eine Teilmenge von $M$ ist, muss es wegen der Surjektivität ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} geben mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(y) }
{ =} { T }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es gibt nun zwei Fälle, nämlich \mathkor {} {y \in F(y)} {oder} {y \not\in F(y)} {.} Im ersten Fall ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und damit, nach der Definition von $T$, auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \notin }{ F(y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von $T$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und das ist ebenfalls ein Widerspruch.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise durch Induktion, dass für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ \geq} {10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^n }
{ \geq} { n^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{

Induktionsanfang für $n=10$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^{10} }
{ =} {9^5 }
{ =} { 81 \cdot 81 \cdot 9 }
{ \geq} {6000 \cdot 9 }
{ \geq} { 10000 }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {n^4 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} Zum Induktionsschluss sei $n \geq 10$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^{n+1} }
{ =} { 3 \cdot 3^n }
{ \geq} { 3 \cdot n^4 }
{ =} { n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 }
{ } { }
} {}{}{.} Andererseits ist nach der binomischen Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(n+1)^4 }
{ =} {n^4 + 4n^3 +6n^2 + 4n +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir müssen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{2} n^4 }
{ \geq} {n^4 + 4n^3 +6n^2 + 4n +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils $\frac{1}{2} n^4$, mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus $n^4 \geq 8n^3$ \zusatzklammer {da $n \geq 10$} {} {,} aus $n^4 \geq 12 n^2$, da ja $n^2 \geq 12$ ist, aus $n^4 \geq 8n$ und aus $n^4 \geq 2$.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {{ \frac{ 3 n^{ \frac{ 5 }{ 4 } } -2 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } + n }{ 4n^{ \frac{ 7 }{ 5 } } +5 n^{ \frac{ 1 }{ 2 } } +1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit $n \geq 1$} {} {} in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{

Wir erweitern mit
\mathl{n^{- { \frac{ 7 }{ 5 } } }}{} und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x_n }
{ =} {{ \frac{ 3 n^{ \frac{ 5 }{ 4 } } -2 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } + n }{ 4n^{ \frac{ 7 }{ 5 } } +5 n^{ \frac{ 1 }{ 2 } } +1 } } }
{ =} {{ \frac{ 3 n^{{ \frac{ 5 }{ 4 } }- { \frac{ 7 }{ 5 } } } -2 n^{{ \frac{ 4 }{ 3 } } - { \frac{ 7 }{ 5 } } } + n^{1 - { \frac{ 7 }{ 5 } } } }{ 4n^{ { \frac{ 7 }{ 5 } }- { \frac{ 7 }{ 5 } } } + 5 n^{ { \frac{ 1 }{ 2 } }- { \frac{ 7 }{ 5 } } } + n^{- { \frac{ 7 }{ 5 } } } } } }
{ =} {{ \frac{ 3 n^{ -{ \frac{ 3 }{ 20 } } } -2 n^{ - { \frac{ 1 }{ 15 } } } + n^{ - { \frac{ 2 }{ 5 } } } }{ 4 + 5 n^{- { \frac{ 9 }{ 10 } } } + n^{- { \frac{ 7 }{ 5 } } } } } }
{ } { }
} {} {}{.} Folgen der Form
\mathl{n^{- q }}{,}
\mathl{q \in \Q_+}{,} konvergieren gegen
\mathl{0}{,} nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen
\mathl{0}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{

Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall
\mathl{[-5,3]}{} maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal
\mathl{0,001}{} cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?

}
{

Wir betrachten zur Exponentialreihe
\mathl{\sum_{n=0}^\infty { \frac{ x^n }{ n! } }}{} die Teilpolynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_k(x) }
{ =} { \sum_{n=0}^k { \frac{ x^n }{ n! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Differenz der Exponentialfunktion zu diesen Polynomen ist somit
\mathdisp {\sum_{n=k+1}^\infty { \frac{ x^n }{ n! } }} { , }
und der Betrag davon soll für jedes
\mathl{x \in [-5,3]}{} maximal gleich
\mathl{0,001}{} sein. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{n=k+1}^\infty { \frac{ x^n }{ n! } } } }
{ \leq} { \sum_{n=k+1}^\infty \betrag { { \frac{ x^n }{ n! } } } }
{ \leq} { \sum_{n=k+1}^\infty { \frac{ 5^n }{ n! } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} müssen wir $k$ so wählen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n=k+1}^\infty { \frac{ 5^n }{ n! } } }
{ \leq} { 0,001 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Wir betrachten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{n=k+1}^\infty { \frac{ 5^n }{ n! } } }
{ =} { { \frac{ 5^{k+1} }{ (k+1)! } } { \left( \sum_{j =0 }^\infty { \frac{ (k+1)! }{ (k+1+j)! } } 5^j \right) } }
{ =} { { \frac{ 5^{k+1} }{ (k+1)! } } { \left( \sum_{j =0 }^\infty { \frac{ 5^j }{ (k+2) (k+3)\cdots (k+1+j) } } \right) } }
{ \leq} { { \frac{ 5^{k+1} }{ (k+1)! } } { \left( \sum_{j =0 }^\infty { \left( { \frac{ 5 }{ k+2 } } \right) }^j \right) } }
{ } { }
} {} {}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5 }
{ < }{k+2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt rechts eine geometrische Reihe vor, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \geq }{8 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist deren Wert maximal gleich $2$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \geq }{10 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bzw. $\geq 13$} {} {} können wir grob abschätzen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 5^{k+1} }{ (k+1)! } } }
{ =} { { \frac{ 5 }{ k+1 } } \cdot { \frac{ 5 }{ k } } \cdots { \frac{ 5 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 9 } } \cdots { \frac{ 5 }{ 5 } }\cdot { \frac{ 5 }{ 4 } }\cdots { \frac{ 5 }{ 1 } } }
{ \leq} { { \frac{ 5 }{ k+1 } } \cdot { \frac{ 5 }{ k } } \cdots { \frac{ 5 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 5^4 }{ 24 } } }
{ \leq} { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^{k-8} \cdot { \frac{ 5^4 }{ 24 } } }
{ \leq} {{ \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^{k-13} }
} {} {}{.} Wegen
\mathl{2^{10} \geq 1000}{} ist dies bei
\mathl{k \geq 24}{} kleiner als
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 1000 } }}{.} Daher ist
\mathl{P_{24}= \sum_{n=0}^{24} { \frac{ x^n }{ n! } }}{} ein Polynom, das die Exponentialfunktion wie gewünscht approximiert.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{

Zeige, dass eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} gleichmäßig stetig ist.

}
{

 Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punktepaar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-y } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(y) } }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Punktepaar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n,y_n }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-y_n } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_n)-f(y_n) } }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge $x_n$ eine in $\R$ \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{,} deren Grenzwert, nennen wir ihn $x$, wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert. Die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert ebenfalls gegen $x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen \mathkor {} {f(x_n)} {und} {f(y_n)} {} gegen
\mathl{f(x)}{.} Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon' }
{ < }{ { \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist für $n$ hinreichend groß sowohl \mathkor {} {\betrag { f(x_n) -f(x) } \leq \epsilon'} {als auch} {\betrag { f(y_n) - f(x) } \leq \epsilon'} {.} Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_n) -f(y_n) } }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { \sqrt[3]{x^2} } {.} Bestimme die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} in denen $f$ differenzierbar ist.

}
{

Die Funktion
\mathl{x \mapsto x^3}{} ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle
\mathl{x=0}{} gleich $0$. Daher ist die Umkehrfunktion
\mathl{y \mapsto \sqrt[3]{y}}{} für
\mathl{y \neq 0}{} differenzierbar. Daher ist auch $f$ als Hintereinanderschaltung von
\mathl{x \mapsto x^2}{} und dieser Funktion für
\mathl{x \neq 0}{} differenzierbar.

Für
\mathl{x=0}{} betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für
\mathl{h \neq 0}{} den Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ \sqrt[3]{h^2} }{ h } }} { . }
Wir betrachten positive $h$ und können den Nenner als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h }
{ =} {\sqrt[3]{h^3} }
{ =} { \sqrt[3]{h^2} \cdot \sqrt[3]{h} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \sqrt[3]{h^2} }{ h } } }
{ =} { { \frac{ \sqrt[3]{h^2} }{ \sqrt[3]{h^2} \cdot \sqrt[3]{h} } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{h} } } }
{ =} { \sqrt[3]{ { \frac{ 1 }{ h } } } }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mathl{h_n = { \frac{ 1 }{ n } }}{} steht hier
\mathl{\sqrt[3]{n}}{} und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist $f$ in $0$ nicht differenzierbar.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Finde die Punkte \zusatzklammer {bzw. den Punkt} {} {} $a \in [0, { \frac{ \pi }{ 2 } }]$ derart, dass die Steigung der Sinusfunktion
\mathl{\operatorname{sin}}{} in $a$ gleich der Gesamtsteigung von
\mathl{\operatorname{sin}}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {{ \frac{ \pi }{ 2 } }} {} ist.

}
{

Die Gesamtsteigung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \sin { \frac{ \pi }{ 2 } } - \sin 0 }{ { \frac{ \pi }{ 2 } } - 0 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } } }
{ =} { { \frac{ 2 }{ \pi } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, es geht also um die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos a }
{ =} { { \frac{ 2 }{ \pi } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a \in [0 , { \frac{ \pi }{ 2 } } ]}{.} Auf diesem Intervall ist die Kosinusfunktion streng fallend und somit gibt es wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ \pi } } }
{ < }{ { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau eine Lösung, nämlich bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} { \arccos { \frac{ 2 }{ \pi } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Bestimme die Ableitung der Funktion \maabbeledisp {} {\R_+} {\R_+ } {x} {f(x) = \pi^x +x^e } {.}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} { \ln (\pi) \cdot \pi^x +e x^{e-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} {\R } {x} {f(x) = e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } } } {.}

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von $f$.

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von $f$.

}
{

a) Die Ableitung von $f$ ist
\mathdisp {f'(x)= { \frac{ 1 }{ x^2 } } \cdot e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } }} { . }
Dies ist stets positiv, so dass die Funktion auf den beiden Teilintervallen
\mathl{\R_-}{} und $\R_+$ jeweils streng wachsend ist. Insgesamt ist die Funktion aber nicht wachsend, da die Werte zu negativem $x$ stets größer als die Werte zu positivem $x$ sind.

b) Für $x< 0$ ist
\mathl{e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } } > 1}{,} da der Exponent positiv ist. Für $x> 0$ ist
\mathl{e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } } < 1}{,} da der Exponent negativ ist. Daher haben insbesondere negative und positive reellen Zahlen unter $f$ unterschiedliche Werte. Da im negativen Bereich als auch im positiven Bereich strenges Wachstum vorliegt, ist die Abbildung insgesamt injektiv.

c) Für negatives $x$ durchläuft $- { \frac{ 1 }{ x } }$ sämtliche positiven Zahlen, so dass $e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } }$ das offene Intervall $]1, \infty[$ durchläuft. Für positives $x$ durchläuft $- { \frac{ 1 }{ x } }$ sämtliche negativen Zahlen, so dass $e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } }$ das offene Intervall $]0,1[$ durchläuft. Das Bild ist also
\mathl{\R_+ \setminus \{1\}}{.}

d) Aus
\mathl{y=e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } }}{} folgt durch Äquivalenzumformungen
\mathl{\ln y = - { \frac{ 1 }{ x } }}{} und damit
\mathl{x = - { \frac{ 1 }{ \ln y } }}{,} die Umkehrabbildung ist also \maabbeledisp {} { \R_+ \setminus \{1\}} {\R \setminus \{0\} } {y} { - { \frac{ 1 }{ \ln y } } } {.}

e)

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei
\mathl{f \in \R[X]}{} ein Polynom vom Grad $n$ und
\mathl{a\in \R}{.} Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ mit $f$ übereinstimmt.

}
{

Zu jedem
\mathl{x \in \R}{} gibt es aufgrund der Taylor-Formel ein
\mathl{c \in \R}{} mit
\mathdisp {f( x) = \sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k } + \frac{ f^{ (n+1) } ( c )}{ (n+1)! } (x-a)^{ n+1 }} { , }
wobei der linke Summand das Taylor-Polynom vom Grad $n$ ist. Da $f$ den Grad $n$ besitzt, ist aber die
\mathl{(n+1)}{-}te Ableitung davon $0$. Daher fällt der rechte Summand weg und $f$ stimmt mit dem $n$-ten Taylor-Polynom überein.

}





\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei \maabbdisp {s_n} {[a,b] } {\R } {} diejenige untere Treppenfunktion zu $f$ zur äquidistanten Unterteilung in $n$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall
\mathdisp {I_j=[a+ { \frac{ (j-1)(b-a) }{ n } } ,a+ { \frac{ j(b-a) }{ n } } [, \, j=1 , \ldots , n} { , }
\zusatzklammer {für
\mathl{j=n}{} sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen} {} {} das Infimum von
\mathbed {f(x)} {}
{x \in I_j} {}
{} {} {} {,} annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu $s_n$ gegen
\mathl{\int_a^b f(x)dx}{} konvergiert.

}
{

Es sei
\mathl{c= \int_a^b f(x)dx}{.} Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen
\mathl{u_n}{} derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen $c$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den $s_n$ gilt. Sei
\mathl{\epsilon > 0}{} vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu
\mathl{{ \frac{ \epsilon }{ 2 } }}{} ein
\mathl{k}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq k}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c- \int_a^b u_n(x) dx }
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu $s_n$ mit dem Treppenintegral zu $u_k$. Es sei $m$ die Anzahl der Unterteilungspunkte von $u_k$ und es sei $d \in \R_+$ eine absolute Schranke für $f$. Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_k }
{ \leq} {d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_n }
{ \geq} {-d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir wählen $n_0$ so, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ b-a }{ n_0 } } m d }
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Sei
\mathl{n \geq n_0}{} fixiert. Von den $n$ Teilintervallen gibt es maximal $m$ Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu $u_k$ liegt. Es sei
\mathl{J \subseteq \{1 , \ldots , n\}}{} die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall $I_j$ mit
\mathl{j \not\in J}{} ist $u_k$ konstant und es gilt dort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_k }
{ \leq} { s_n }
{ \leq} { f }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und entsprechend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{I_j} u_k(x)dx }
{ \leq} {\int_{I_j} s_n(x)dx }
{ \leq} {\int_{I_j} f(x)dx }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Auf einem Intervall $I_j$ mit
\mathl{j \in J}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{I_j} u_k(x)dx }
{ \leq} { d { \frac{ b-a }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{I_j} s_n(x)dx }
{ \geq} { -d { \frac{ b-a }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Insgesamt ergibt sich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{c- \int_a^b s_n(x) dx }
{ =} { c - \sum_{j =1}^n\int_{I_j} s_n (x) dx }
{ =} { c - \sum_{j \not \in J} \int_{I_j} s_n (x) dx - \sum_{j \in J} \int_{I_j} s_n (x) dx }
{ \leq} { c - \sum_{j \not \in J} \int_{I_j} u_k (x) dx - \sum_{j \in J} \int_{I_j} s_n (x) dx }
{ =} {c- \int_a^b u_k (x) dx + \sum_{j \in J} \int_{I_j} u_k (x) dx- \sum_{j \in J} \int_{I_j} s_n (x) dx }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} {{ \frac{ \epsilon }{ 2 } }+ d m { \frac{ b-a }{ n } } + d m { \frac{ b-a }{ n } } }
{ \leq} {{ \frac{ \epsilon }{ 2 } }+{ \frac{ \epsilon }{ 4 } }+{ \frac{ \epsilon }{ 4 } } }
{ =} {\epsilon }
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{- { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ < }{t }
{ < }{ { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{}} {} {}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \cos t } }} { . }

}
{

Die \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathdisp {\frac{1}{ \cos t }} { }
berechnet sich unter Verwendung von Lemma 27.4 folgendermaßen.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ }^{ } \frac{1}{ \cos t } \, d t }
{ =} { \int_{ }^{ } { \frac{ 1+s^2 }{ 1-s^2 } } \cdot { \frac{ 2 }{ 1+s^2 } } \, d s }
{ =} { \int_{ }^{ } { \frac{ 2 }{ 1-s^2 } } \, d s }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Eine Stammfunktion von
\mathl{2 { \frac{ 1 }{ 1-s^2 } }}{} ist
\mathl{\ln { \frac{ 1+s }{ 1-s } }}{.} Daher ist
\mathdisp {\ln { \left( { \frac{ 1+ \tan { \frac{ t }{ 2 } } }{ 1 - \tan { \frac{ t }{ 2 } } } } \right) }} { }
eine Stammfunktion von
\mathl{\frac{1}{ \cos t }}{.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^2-3t+4 \text{ mit } y(-1) = -5} { . }

}
{

Die Stammfunktionen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(t) }
{ = }{3t^2 -3t +4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(t) }
{ =} {t^3- { \frac{ 3 }{ 2 } } t^2+4t +c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(-1) }
{ =} {-5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -1- { \frac{ 3 }{ 2 } } -4 + c }
{ =} { -5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}

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