Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/6/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 4 4 4 7 3 4 6 6 4 5 3 3 3 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Relation zwischen den Mengen und .
  2. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .
  3. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  4. Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  5. Die Summierbarkeit einer Familie , , komplexer Zahlen.
  6. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  7. Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

    auf einer offenen Menge in einem Punkt .

  8. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  3. Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
    wobei eine Teilmenge ist.
  4. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle die Formel


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

für jedes absolut konvergiert.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion , wobei eine Teilmenge ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine Menge und seien

und

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

gleichmäßig konvergent ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei . Es gelte

Zeige, dass


Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

für .


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

Zur pdf-Version der Klausur

Zur pdf-Version der Lösungen