Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/6/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 4 4 4 4 4 7 3 4 6 6 4 5 3 3 3 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Relation zwischen den Mengen und .
  2. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .
  3. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  4. Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  5. Die Summierbarkeit einer Familie , , komplexer Zahlen.
  6. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  7. Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion

    auf einer offenen Menge in einem Punkt .

  8. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung


Lösung

  1. Eine Relation zwischen und ist eine Teilmenge .
  2. Der Betrag von ist folgendermaßen definiert.
  3. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  4. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein gibt derart, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.

  5. Die Familie , , heißt summierbar, wenn es ein gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Teilmengen mit die Beziehung

    gilt. Dabei ist .

  6. Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch
  7. Die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt ist
  8. Die gewöhnliche Differentialgleichung

    heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also gilt mit einer Funktion in der einen Variablen .


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  3. Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
    wobei eine Teilmenge ist.
  4. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Lösung

  1. Jede nichtleere [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|nach oben beschränkte]] Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in .
  2. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
  3. Es sei die Menge aller [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Berührpunkte]] von und

    sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

  4. Sei ein {{Expansion depth limit exceeded}}{{Expansion depth limit exceeded|Seitenname=}} und sei

    eine {{Expansion depth limit exceeded}}{{Expansion depth limit exceeded|Seitenname=}} Dann gibt es ein mit


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Lösung

a) Es ist

daher ist

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen und und . Die Summe ist

c) Wir setzen

diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt

Mit ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle die Formel


Lösung

Induktionsanfang. Für kommt links nur der Summand zu vor, und dieser ist

Rechts steht ebenfalls

Induktionsschluss. Die Aussage sei für bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für . Es ist

Also gilt die Aussage für alle .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

für jedes absolut konvergiert.


Lösung

Wir wenden das Quotientenkriterium an, woraus dann die absolute Konvergenz folgt. Dazu betrachten wir den Quotienten aus zwei aufeinander folgenden Gliedern der Reihe (bei ist die Aussage klar, sei also ), also

Zu einem gegebene gibt es ein mit

Dies gilt dann auch für alle , so dass man ab das Quotientenkriterium anwenden kann.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion , wobei eine Teilmenge ist.


Lösung

Aufgrund von Satz 14.5 genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert für jedes existiert. Sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge konvergiert. Da diese Bildfolge in ist, und vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Sei vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von gibt es ein derart, dass für alle mit

ist. Wegen der Konvergenz der Folge gibt es ein mit für alle . Für alle gilt daher und somit insgesamt


Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen und die Folge betrachtet, die ebenfalls gegen konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Menge und seien

und

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

gleichmäßig konvergent ist.


Lösung

Es seien bzw. die Grenzfunktionen der beiden Funktionenfolgen. Sei vorgegeben. Zu gibt es aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von gegen ein derart, dass für alle und alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gilt für und die Abschätzung

Für gilt daher für alle die Abschätzung

Daher konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei . Es gelte

Zeige, dass


Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion

Nach den Voraussetzungen ist differenzierbar, es ist und es ist für alle . Wir müssen zeigen, dass für alle ist. Nehmen wir also an, dass es ein gibt mit . Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es ein mit

Da diese Zahl negativ ist, ergibt sich ein Widerspruch.


Aufgabe (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.


Lösung

a) Die Funktion ist differenzierbar und die Ableitung ist

Für sind diese beiden Summanden positiv, so dass die Ableitung stets positiv ist und daher streng wachsend ist. Daher ist die Abbildung injektiv. Die Funktion ist stetig, da sie differenzierbar ist. Daher genügt es für die Surjektivität, aufgrund des Zwischenwertsatzes, nachzuweisen, dass beliebig große und beliebig kleine Werte angenommen werden.

Für ist und daher

Da der Logarithmus für beliebig kleine Werte annimmt, gilt das auch für .

Für ist und daher

Da der Logarithmus für beliebig große Werte annimmt, gilt das auch für .

b) Durch Einsetzen ergibt sich , also ist das Urbild von . Aufgrund der Berechnung der Ableitung oben ist

Aufgrund der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt daher


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .


Lösung

Es ist

Wir schreiben

mit . Somit ist

Daher ist

Für den rechten Faktor gilt

Die einzelnen Summanden (ohne die Koeffizienten ) haben die Form

Hier kann man also nochmal einen Faktor ausklammern.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Lösung

Es ist

Es ist

und daher ist

Es ist

und daher ist

Es ist

und daher ist

Das Taylor-Polynom vom Grad in ist somit


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Lösung

Es sei

eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien und das Minimum bzw. das Maximum der Funktion. Dann ist insbesondere für alle und

Daher ist mit einem und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Lösung

Eine Stammfunktion zu ist

Daher ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

für .


Lösung

Es ist

Mit der Substitution müssen wir eine Stammfunktion für

finden. Eine solche ist

Daher ist

eine Stammfunktion von .


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung


Lösung

a) Eine Stammfunktion von ist

daher ist

eine Lösung der homogenen Differentialgleichung.

b) Wir bestimmen gemäß dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen eine Stammfunktion zu

Eine solche ist

Daher ist

eine Lösung der Differentialgleichung.

Zur pdf-Version der Klausur

Zur pdf-Version der Lösungen