Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/7/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 4 4 2 4 3 3 2 8 4 3 5 3 6 5 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  3. Ein vollständig angeordneter Körper .
  4. Der Grenzwert einer Funktion

    in einem Punkt (dabei ist eine Teilmenge).

  5. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
  6. Die -fache Differenzierbarkeit einer Funktion
  7. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  8. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe .
  2. Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
    wobei eine Teilmenge ist.
  3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  4. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Aufgabe * (4 Punkte)

Ordne die Zahlen

gemäß ihrer Größe.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe * (2 Punkte)

Entscheide, ob die Reihe

konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei , . Es sei

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius und ein gegeben. Für welches verläuft die Tangente zu an den oberen Kreisbogen durch den Punkt ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Folge (). Zeige folgende Aussagen.

  1. Für ist die Folge monoton fallend.
  2. Die Folge konvergiert gegen .


Aufgabe * (4 Punkte)

Der Graph der Funktion

und die -Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

mittels Partialbruchzerlegung.


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar

ist und dass
für alle gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Aufgabe * (5 Punkte)

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit und .

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