Lösung
- Die Abbildung
heißt surjektiv, wenn es für jedes
mindestens ein Element
mit
gibt.
- Ein angeordneter Körper
heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem
eine natürliche Zahl
mit -
gibt.
- Ein angeordneter Körper
heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge
in
konvergiert.
- Eine Zahl
heißt Grenzwert von
in
, wenn für jede Folge
in
, die gegen
konvergiert,
die Bildfolge
gegen
konvergiert.
- Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
-
- Man sagt, dass
-mal differenzierbar ist, wenn
-mal differenzierbar ist und die
-te Ableitung
differenzierbar
ist.
- Das Polynom
-
heißt das Taylor-Polynom vom Grad
zu
im Entwicklungspunkt
.
- Die Funktion
heißt Riemann-integrierbar auf
, wenn
Ober-
und
Unterintegral
von
existieren und übereinstimmen.
Lösung
- Es gebe eine reelle Zahl
mit
und ein
mit
-

für alle
. Dann konvergiert die Reihe
absolut.
- Es sei
die Menge aller Berührpunkte von
und
-
sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
-
- Sei
und sei
-
eine stetige, auf
differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein
mit
-

- Es sei
eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei
eine Stammfunktion von
. Dann ist
-

eine Stammfunktion der Umkehrfunktion
.
Ordne die Zahlen
-
gemäß ihrer Größe.
Lösung
Es ist einerseits

Andererseits ist

wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist
-

Lösung
Es ist
-

Bei
ist somit
-

und bei
ist
-

Daher ist stets
-

Für ein vorgegebenes
gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen
natürliche Zahlen
und
derart, dass
-

für
und
-

für
gilt. Für
gilt daher
-

Dies bedeutet die Konvergenz von
gegen
.
Entscheide, ob die Reihe
-
konvergiert.
Lösung
Für
ist
-

Da die Reihe
konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor und damit konvergiert die angegebene Reihe.
Lösung
Lösung
Lösung
Der obere Kreisbogen wird (für
) durch die Funktion
-

beschrieben. Die Ableitung davon ist
-

Die Steigung der Geraden durch

und

wird durch
-
beschrieben. Dies führt auf die Bedingung
-

bzw. auf
-

Daher ist
-

Bestimme den Grenzwert
-
Lösung
Aufgabe (8 (5+3) Punkte)
Lösung
Wir schreiben
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{n}}&=n^{\frac {1}{n}}\\&=(e^{\ln n})^{\frac {1}{n}}\\&=e^{\frac {\ln n}{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade2f05f4345d956584dbcdbf5ddea17411b111d)
1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d.h. wir betrachten die Funktion
-
und zeigen, dass diese Funktion für
fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen
. Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass
-
für
fallend ist. Dazu ziehen wir
Satz 19.5
heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion
. Diese ist

Für
ist
und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ.
2. Wir zeigen, dass
für
gegen
konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt
auch
einsetzen, was zur Folge
führt. Für diese Folge gilt

ihr Grenzwert ist nach dem Quetschkriterium also
. Da die Exponentialfunktion stetig ist, konvergiert somit
gegen
.
Der Graph der Funktion
-

und die
-Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.
Lösung
Es ist
-

die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls
. Eine Stammfunktion von
ist
-

und somit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{5}f(x)dx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}]_{0}^{5}\\&=-{\frac {1}{3}}125+{\frac {5}{2}}25\\&={\frac {125}{6}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d1a2a129873879ca8670c52c4dda434141cb2e)
Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als
an. Der Durchstoßungspunkt
(abgesehen vom Nullpunkt)
mit dem Graphen ergibt sich aus
-

zu
-

Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{5-a}-x^{2}+5x-axdx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5-a}{2}}x^{2}]_{0}^{5-a}\\&=(5-a)^{3}{\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1947263c3a0007fa342182fe973e04e70cd23c04)
Die Bedingung
-

führt auf
-

und damit auf
-
![{\displaystyle {}5-a={\frac {5}{\sqrt[{3}]{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47d3dfe9b0fa61c37341aa6e2ebee25076fbc66)
Also ist
-
![{\displaystyle {}a=5{\left(1-{\sqrt[{3}]{\frac {1}{2}}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1824ccbeb4b500eb444d60b5bcaa0ea2f729724e)
Bestimme eine Stammfunktion von
-
mittels Partialbruchzerlegung.
Lösung
Da der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, führen wir zuerst eine Polynomdivision durch. Diese ergibt
-

und daher ist
-

Eine Stammfunktion ist also
-
Lösung
Bestimme eine
Stammfunktion
von
-
Lösung
Sei
-
stetig
mit
-
für jede stetige Funktion
.
Zeige
.
Lösung
Nehmen wir an, dass
nicht die Nullfunktion ist. Dann gibt es einen Punkt
mit
.
Sagen wir
.
Da
stetig ist, gibt es ein Teilintervall
mit
für alle
. Die Funktion
sei außerhalb von
die Nullfunktion und auf
durch
-

definiert. Die Funktion
ist stetig auf
und im Innern von
positiv, also insgesamt nichtnegativ. Daher gibt es ein weiteres Teilintervall
derart, dass
für alle
ist. Daher ist

im Widerspruch zur Voraussetzung.
Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung
-
mit
und
.
Lösung
Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen
-
davon ist
-
eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls
-
Wir setzen weiter
. Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also
-

Daraus ergibt sich die Bedingung
-

und daraus
-
Also ist
-
eine Stammfunktion von
. Daher ist
-
eine Lösung, die für
definiert ist und für die
gilt.