Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/7/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 4 4 2 4 3 3 2 8 4 3 5 3 6 5 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  3. Ein vollständig angeordneter Körper .
  4. Der Grenzwert einer Funktion

    in einem Punkt (dabei ist eine Teilmenge).

  5. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
  6. Die -fache Differenzierbarkeit einer Funktion
  7. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  8. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

    auf einem kompakten Intervall .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  2. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
    gibt.
  3. Ein angeordneter Körper heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.
  4. Eine Zahl heißt Grenzwert von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, die Bildfolge gegen konvergiert.
  5. Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
  6. Man sagt, dass -mal differenzierbar ist, wenn -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung differenzierbar ist.
  7. Das Polynom

    heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .

  8. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar auf , wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe .
  2. Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
    wobei eine Teilmenge ist.
  3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  4. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Lösung

  1. Es gebe eine reelle Zahl mit und ein mit

    für alle . Dann konvergiert die Reihe [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/


    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|absolut]].
  2. Es sei die Menge aller [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Berührpunkte]] von und

    sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

  3. Sei und sei

    eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|stetige]], auf differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein mit

  4. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|bijektive]] differenzierbare Funktion und es sei eine Stammfunktion von . Dann ist

    eine Stammfunktion der Umkehrfunktion

    .


Aufgabe (4 Punkte)

Ordne die Zahlen

gemäß ihrer Größe.


Lösung

Es ist einerseits

Andererseits ist

wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Lösung

Es ist

Bei ist somit

und bei ist

Daher ist stets

Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen  und derart, dass

für und

für gilt. Für gilt daher

Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob die Reihe

konvergiert.


Lösung

Für ist

Da die Reihe konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor und damit konvergiert die angegebene Reihe.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei , . Es sei

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige, dass konstant ist.


Lösung

Unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert die Folge gegen . Daher konvergiert auch für jedes feste die Folge gegen . Durch iterative Anwendung der Voraussetzung an erhält man

für jedes . Aufgrund der Stetigkeit von ist also

Somit ist der einzige Wert der Funktion.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Lösung

Die Ableitung von ist nach der Produktregel

Dadurch ist die Gleichung für richtig und der Induktionsanfang ist gesichert. Sei die Gleichung nun für die -te Ableitung schon bewiesen. Wegen gilt somit

Daher ist die Gleichung auch für die -te Ableitung richtig.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius und ein gegeben. Für welches verläuft die Tangente zu an den oberen Kreisbogen durch den Punkt ?


Lösung

Der obere Kreisbogen wird (für ) durch die Funktion

beschrieben. Die Ableitung davon ist

Die Steigung der Geraden durch und wird durch
beschrieben. Dies führt auf die Bedingung

bzw. auf

Daher ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert


Lösung

Wir verwenden die Regel von Hospital. Die Ableitung der Zählerfunktion ist

und die Ableitung der Nennerfunktion ist

Die Funktion hat keine Nullstelle in einer offenen Ungebung von . Daher ist Hospital anwendbar und es ist


Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Folge (). Zeige folgende Aussagen.

  1. Für ist die Folge monoton fallend.
  2. Die Folge konvergiert gegen .


Lösung

Wir schreiben

1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d.h. wir betrachten die Funktion

und zeigen, dass diese Funktion für fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen . Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass

für fallend ist. Dazu ziehen wir Satz 19.5 heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion . Diese ist

Für ist und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ.

2. Wir zeigen, dass für gegen konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt auch einsetzen, was zur Folge führt. Für diese Folge gilt

ihr Grenzwert ist nach dem Quetschkriterium also . Da die Exponentialfunktion stetig ist, konvergiert somit gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Der Graph der Funktion

und die -Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.


Lösung

Es ist

die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls . Eine Stammfunktion von ist

und somit ist

Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus

zu

Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt

Die Bedingung

führt auf

und damit auf

Also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

mittels Partialbruchzerlegung.


Lösung

Da der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, führen wir zuerst eine Polynomdivision durch. Diese ergibt

und daher ist

Eine Stammfunktion ist also


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar

ist und dass
für alle gilt.


Lösung

Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist

Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ein mit

und damit ist

Für konvergiert dies wegen der Stetigkeit von gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Lösung

Die Funktion hat die Gestalt

deshalb ist nach der Kettenregel (für drei Funktionen) eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei eine Stammfunktion von bezeichnet. Also ist

eine Stammfunktion.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Lösung

Nehmen wir an, dass nicht die Nullfunktion ist. Dann gibt es einen Punkt mit . Sagen wir . Da stetig ist, gibt es ein Teilintervall mit für alle . Die Funktion sei außerhalb von die Nullfunktion und auf durch

definiert. Die Funktion ist stetig auf und im Innern von positiv, also insgesamt nichtnegativ. Daher gibt es ein weiteres Teilintervall derart, dass für alle ist. Daher ist

im Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (5 Punkte)

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit und .


Lösung

Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen
davon ist
eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls

Wir setzen weiter . Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

Daraus ergibt sich die Bedingung

und daraus

Also ist

eine Stammfunktion von . Daher ist

eine Lösung, die für definiert ist und für die gilt.

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