Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 5 3 5 3 5 5 4 4 5 5 1 2 5 4 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  2. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  3. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  4. Die Abzählbarkeit einer Menge .
  5. Der Differenzenquotient zu einer Funktion

    in einem Punkt einer offenen Menge .

  6. Eine konvexe Teilmenge .
  7. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
  8. Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge zu einer Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  3. Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  4. Der Satz über partielle Integration.


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien und nichtleere Mengen und

Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also

a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme, für welche komplexe Zahlen die Reihe

konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge

derart, dass sämtliche nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Kettenregel für die Hintereinanderschaltung von zwei differenzierbaren Funktionen und .


Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.


Aufgabe * (1 Punkt)

Besitzt die komplexe Exponentialfunktion

eine differenzierbare Umkehrfunktion?


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion

die nicht Riemann-integrierbar ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

für .

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