Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/8/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 5 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 5 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 5 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 1 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.

}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$.

}{Der \stichwort {Körper der komplexen Zahlen} {} \zusatzklammer {mit den Verknüpfungen} {} {.}

}{Die \stichwort {Abzählbarkeit} {} einer Menge $M$.

}{Der \stichwort {Differenzenquotient} {} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {D} {{\mathbb K} } {} in einem Punkt
\mathl{a \in D}{} einer offenen Menge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}

}{Eine \stichwort {konvexe Teilmenge} {}
\mathl{T \subseteq \R^n}{.}

}{Das \stichwort {Unterintegral} {} einer nach unten beschränkten Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}

}{Ein \stichwort {Anfangswertproblem} {} auf einer offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq \R^2}{} zu einer Funktion \maabbdisp {f} {U} {\R } {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Der \stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {} von $\R$.}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Der \stichwort {zweite Mittelwertsatz} {} der Differentialrechnung.}{Der Satz über \stichwort {partielle Integration} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (3+2)}
{

Es seien
\mathl{M_1 , \ldots , M_k}{} und
\mathl{N_1 , \ldots , N_k}{} nichtleere Mengen und \maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {N_i } {} Abbildungen für
\mathl{i= 1 , \ldots , k}{.} Es sei
\mathl{M=M_1 \times \cdots \times M_k}{,}
\mathl{N=N_1 \times \cdots \times N_k}{,} und $\varphi$ die Produktabbildung, also \maabbeledisp {\varphi} {M} {N } {(x_1 , \ldots , x_k)} { ( \varphi_1(x_1) , \ldots , \varphi_k(x_k) ) } {.}

a) Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $\varphi_i$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^n }
{ \geq} { n^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Bestimme, für welche komplexe Zahlen $z$ die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty n^nz^n} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+3+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^3+x-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(q) } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbdisp {f_n} {\R} {\R } {} derart, dass sämtliche $f_n$ nicht \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, die Funktionenfolge aber \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen eine stetige \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme den Grenzwert von
\mathdisp {\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}} { }
im Punkt $1$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme direkt \zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {} die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,} in einem beliebigen Punkt $a \in \R$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise die Kettenregel für die Hintereinanderschaltung
\mathl{g \circ f}{} von zwei differenzierbaren Funktionen \maabb {f} {\R} {\R } {} und \maabb {g} {\R} {\R } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Betrachte die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = (2x+3)e^{-x^2} } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} und die lokalen (globalen) \definitionsverweis {Extrema}{}{} von $f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Besitzt die \definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} { \exp z } {,} eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion \maabbdisp {f} {[0,1]} {\R } {,} die nicht \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zeige \zusatzklammer {ohne Stammfunktionen zu verwenden} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 e^x dx }
{ =} { e-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { { \frac{ y }{ t^2(t-1) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

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