Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/8/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 5 3 5 3 5 5 4 4 5 5 1 2 5 4 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  2. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  3. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  4. Die Abzählbarkeit einer Menge .
  5. Der Differenzenquotient zu einer Funktion

    in einem Punkt einer offenen Menge .

  6. Eine konvexe Teilmenge .
  7. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
  8. Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge zu einer Funktion


Lösung

  1. Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .
  2. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.

  4. Die Menge heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

    gibt.

  5. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .

  6. Die Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke (also jeder Punkt der Form ) ebenfalls zu gehört.
  7. Das Supremum von sämtlichen Untersummen von unteren Treppenfunktionen von heißt das Unterintegral von .
  8. Man nennt

    das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  3. Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  4. Der Satz über partielle Integration.


Lösung

  1. Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in .
  2. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
  3. Es sei und seien

    stetige, auf differenzierbare Funktionen mit

    für alle . Dann ist und es gibt ein mit

  4. Es seien

    stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es seien und nichtleere Mengen und

Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also

a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.


Lösung

a) Seien alle surjektiv und sei . Zu jedem gibt es ein mit . Daher ist ein Urbild von unter .

Sei umgekehrt surjektiv, und sei gegeben. Da die alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein . Wir setzen

Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild . Für die -te Komponente davon muss gelten.

b) Sei , sei die leere Abbildung und seien und irgendwelche (nichtleere) Mengen und sei eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist und und daher ist die Produktabbildung ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle surjektiv sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.


Lösung

Für ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein schon bewiesen ist und haben sie für zu zeigen. Dies ergibt sich aus

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung und in der fünften Zeile die binomische Formel angewendet haben.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme, für welche komplexe Zahlen die Reihe

konvergiert.


Lösung

Es handelt sich um eine Potenzreihe mit den Koeffizienten . Sie konvergiert für , da dann nur ein Glied von null verschieden ist. Wir behaupten, dass die Reihe für keine weitere komplexe Zahl konvergiert. Da es sich um eine Potenzreihe handelt, genügt es, für jede reelle positive Zahl nachzuweisen, dass die Reihe divergiert. Zu gibt es ein mit . Es gilt dann auch für alle . Wegen

erfüllt die Reihe nicht das Cauchy-Kriterium und kann daher nicht konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Lösung

Für reelles ist immer . Somit ist

für alle . Da die Folge gegen konvergiert und dies auch für die negative Folge gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge gegen konvergieren.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.


Lösung

a) Es ist und , daher besitzt die stetige Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle in . Die Ableitung ist und dies ist in diesem Intervall positiv, so dass die Funktion dort streng wachsend ist. Also kann sie nicht mehr als eine Nullstelle besitzen.

b) Für ist
die Nullstelle muss also in der rechten Intervallhälfte liegen. Für ergibt sich

so dass dieser Wert zu groß ist. Für ergibt sich

was immer noch zu groß ist. Für ergibt sich

Die Nullstelle liegt also im offenen Intervall zwischen und und die erste Nachkommastelle ist .

c) Wie unter b) berechnet ist , so dass man nehmen kann.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge

derart, dass sämtliche nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.


Lösung

Wir betrachten für die Funktionenfolge

die durch

gegeben ist. Diese Funktionen sind nicht stetig, da der Limes für gegen stets ist. Wir behaupten, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, die als konstante Funktion stetig ist. Dazu sei vorgegeben. Es gibt dann ein mit . Für alle und alle gilt dann


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Lösung

a) Durch Polynomdivision erhält man und . Daher ist

Daher ist

b) Die Ableitungen sind und , die beide für keine Nullstelle besitzen. Nach der Regel von l'Hospital ist daher


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotient

Die Ableitung ist der Limes von diesem Ausdruck für gegen , und dieser ist

Die Ableitung ist also .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Kettenregel für die Hintereinanderschaltung von zwei differenzierbaren Funktionen und .


Lösung

Wir arbeiten mit der linearen Approximierbarkeit, nach Voraussetzung ist

und

mit in bzw. in stetigen Funktionen und , die beide dort den Wert besitzen. Daher ergibt sich

Die hier ablesbare Restfunktion

ist stetig in mit dem Wert .


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.


Lösung

Da die Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt, liegt nur bei , also bei eine Nullstelle vor. Unterhalb davon ist die Funktion negativ, oberhalb davon positiv.

Zur Bestimmung der lokalen Extrema leiten wir ab, was zu

führt. Die Nullstellenbestimmung der Ableitung führt auf

Quadratisches Ergänzen führt zu

bzw.

Also ist

und somit

Für ist die Ableitung negativ, für mit ist sie positiv und für wieder negativ. Daher ist die Funktion unterhalb von streng fallend, zwischen und streng wachsend und oberhalb von wieder streng fallend. Daher liegt in ein isoliertes lokales Minimum und in ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es sonst keine lokalen Extrema gibt, und die Funktion für wächst, aber negativ bleibt, und für fällt, aber positiv bleibt, sind dies auch globale Extrema.


Aufgabe (1 Punkt)

Besitzt die komplexe Exponentialfunktion

eine differenzierbare Umkehrfunktion?


Lösung

Die komplexe Exponentialfunktion ist wegen für alle nicht injektiv, daher gibt es überhaupt keine Umkehrfunktion.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion

die nicht Riemann-integrierbar ist.


Lösung

Es sei

Da es in jedem Intervall positiver Länge sowohl rationale als auch irrationale Zahlen gibt, besitzt eine untere Treppenfunktion zu maximal den Wert und eine obere Treppenfunktion zu besitzt minimal den Wert . Daher ist das Unterintegral gleich und das Oberintegral gleich . Daher existiert das bestimmte Integral nicht.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)


Lösung

Wir betrachten die äquidistante Unterteilung , , und die untere Treppenfunktion , die durch auf dem -ten Teilintervall festgelegt ist. Das zugehörige Treppenintegral ist (unter Verwendung der endlichen geometrischen Reihe)

Hier ist der linke Faktor konstant. Für den rechten Faktor betrachten wir den Funktionslimes

Dieser existiert nach der Regel von Hospital und sein Wert ist , also gilt dies auch für den rechten Faktor.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

für .


Lösung

Wir müssen für

mittels Partialbruchzerlegung eine Stammfunktion bestimmen. Es ist

Multiplikation mit dem Nenner führt auf

Einsetzen von führt auf die linearen Gleichungen

und

Also ist

Eine Stammfunktion ist also

Somit ist

eine Lösung der Differentialgleichung.

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