Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/9/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 4 4 2 3 3 4 2 6 4 3 5 4 5 4 5 4 2 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Urbild zu einer Teilmenge unter einer Abbildung .
  2. Eine rationale Zahl.
  3. Eine wachsende Folge in einem angeordneten Körper.
  4. Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion

    auf eine Teilmenge , .

  5. Die Exponentialfunktion zur Basis im Komplexen.
  6. Eine konkave Funktion

    auf einem reellen Intervall .

  7. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  8. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion
    in einem Punkt .
  4. Die Taylor-Formel für eine -mal differenzierbare Funktion
    auf einem reellen Intervall für einen inneren Punkt .


Aufgabe * (2 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes die Zahl

ein Vielfaches von ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Cauchy-Folge in , die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein derart gibt, dass entweder alle , , positiv oder negativ sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine Reihe

mit und für alle gegeben. Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

ein Polynom vom Grad . Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

streng wachsend ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion

in einem Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine Funktion, die die Funktionalgleichung

für alle erfülle und die in differenzierbar sei. Zeige, dass dann in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung mit einem festen gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zu einem Startwert sei die Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, für welche die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von .


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

a) Es sei und es sei
eine rationale Funktion in

und in . Man gebe direkt (ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung) eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.

b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (mit )


Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

c) Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe * (2 Punkte)

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).




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