Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/9/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 6 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 5 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 65 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Das \stichwort {Urbild} {} zu einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq M}{} unter einer Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}

}{Eine \stichwort {rationale Zahl} {.}

}{Eine \stichwort {wachsende} {} Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper.

}{Eine \stichwort {stetige Fortsetzung} {} einer stetigen Funktion \maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K} } {} auf eine Teilmenge
\mathbed {\tilde{ T }} {}
{T \subseteq \tilde{ T }\subseteq {\mathbb K}} {}
{} {} {} {.}

}{Die \stichwort {Exponentialfunktion zur Basis} {} $b>0$ im Komplexen.

}{Eine \stichwort {konkave} {} Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem reellen Intervall $I \subseteq \R$.

}{Das \stichwort {Oberintegral} {} einer nach oben beschränkten Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}

}{Eine \stichwort {ortsunabhängige} {} \definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Der \stichwort {Satz von Bolzano-Weierstraß} {.}}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Der \stichwort {Satz über die lineare Approximierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {{\mathbb K}} {{\mathbb K} } {} in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.}}{Die \stichwort {Taylor-Formel} {} für eine
\mathl{(n+1)}{-}mal \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem reellen Intervall $I \subseteq \R$ für einen inneren Punkt
\mathl{a \in I}{.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Zahl
\mathdisp {6^{n+2} + 7^{2n+1}} { }
ein Vielfaches von $43$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } }{} eine Cauchy-Folge in
\mathl{\Q}{,} die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein
\mathl{N \in \N }{} derart gibt, dass entweder alle
\mathl{x_n}{,}
\mathl{n \geq N }{,} positiv oder negativ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei eine Reihe
\mathdisp {\sum_{i = 1}^\infty a_i 10^{-i}} { }
mit
\mathl{a_i \in {\mathbb C}}{} und
\mathl{\betrag { a_i } \leq 9^i}{} für alle
\mathl{i \in \N_+}{} gegeben. Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise den Zwischenwertsatz.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathdisp {f(x) =ax^2 +bx +c, \, a \neq 0} { , }
ein reelles Polynom vom Grad $2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = { \frac{ e^x }{ x^2+1 } } } {,} streng wachsend ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion \maabbdisp {f} {{\mathbb K}} {{\mathbb K} } {} in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {f(z) } {,} eine Funktion, die die Funktionalgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z+w) }
{ =} { f(z) \cdot f(w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{z,w \in {\mathbb C}}{} erfülle und die in
\mathl{0}{} differenzierbar sei. Zeige, dass dann $f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(z) }
{ = }{ \lambda f(z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem festen
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zu einem Startwert
\mathl{x_0 \in \R}{} sei die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { e^{x_n}-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Entscheide, für welche
\mathl{x_0}{} die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme eine Stammfunktion von
\mathl{\sin^{ 3 } x}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{

a) Es sei
\mathl{k \in \N_+}{} und es sei
\mathdisp {f(x) =R(x, \sqrt[k]{x})} { }
eine rationale Funktion in \mathkor {} {x} {und in} {\sqrt[k]{x}} {.} Man gebe direkt \zusatzklammer {ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung} {} {} eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu
\mathl{f(x)}{} auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.

b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion \zusatzklammer {mit
\mathl{x>1}{}} {} {}
\mathdisp {{ \frac{ \sqrt[3]{x} + x }{ (\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x} } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+2+1)}
{

a) Finde alle \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } }} { . }

b) Finde alle \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7} { . }

c) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7 \text{ und } y(1)= 5} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu \zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.} \aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}




}
{} {}

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