Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/9/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 4 4 2 3 3 4 2 6 4 3 5 4 5 4 5 4 2 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Urbild zu einer Teilmenge unter einer Abbildung .
  2. Eine rationale Zahl.
  3. Eine wachsende Folge in einem angeordneten Körper.
  4. Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion

    auf eine Teilmenge , .

  5. Die Exponentialfunktion zur Basis im Komplexen.
  6. Eine konkave Funktion

    auf einem reellen Intervall .

  7. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  8. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung


Lösung

  1. Zu einer Teilmenge heißt

    das Urbild von unter .

  2. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

    wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.

  3. Die Folge heißt wachsend, wenn für alle ist.
  4. Eine Abbildung

    heißt eine stetige Fortsetzung von , wenn stetig ist und für alle gilt.

  5. Die Exponentialfunktion zur Basis von wird durch

    definiert.

  6. Die Funktion heißt konkav, wenn ihr Subgraph eine konvexe Menge ist.
  7. Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von .
  8. Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion nicht von abhängt.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion
    in einem Punkt .
  4. Die Taylor-Formel für eine -mal differenzierbare Funktion
    auf einem reellen Intervall für einen inneren Punkt .


Lösung

  1. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|beschränkte]] Folge von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]]. Dann besitzt die Folge eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|konvergente]] Teilfolge.
  2. Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und . Dann gibt es ein mit .
  3. Die Funktion ist in genau dann [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|differenzierbar]], wenn es ein und eine Funktion

    gibt mit stetig in und und mit

  4. Zu jedem Punkt gibt es ein mit


Aufgabe (2 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Lösung

Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

und mit BC50 hat man die Kosten

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

also

Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes die Zahl

ein Vielfaches von ist.


Lösung

Induktionsanfang. Für ist

ein Vielfaches von . Induktionsschritt. Sei nun die Aussage für bewiesen und betrachten wir den Ausdruck für . Dieser ist

wobei im letzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde (nämlich die Eigenschaft, dass ein Vielfaches von ist). Daher ist diese Zahl ein Vielfaches von .


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir erweitern den Bruch mit () und schreiben

Dabei konvergieren und gegen und wegen konvergieren auch und gegen . Somit konvergiert die Folge gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Cauchy-Folge in , die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein derart gibt, dass entweder alle , , positiv oder negativ sind.


Lösung

Da keine Nullfolge ist, gibt es ein derart, dass es zu jedem ein mit gibt. Da es sich um eine Cauchy-Folge handelt, gibt es zu ein derart, dass für alle die Abschätzung gilt. Sei nun so gewählt, dass ist.

Bei gilt für alle die Abschätzung

so dass für alle Folgenglieder positiv sind.

Bei gilt für alle die Abschätzung

so dass für alle Folgenglieder negativ sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Reihe

mit und für alle gegeben. Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert.


Lösung

Für die Reihenglieder ist

Man hat also die geometrische Reihe zu als konvergente Majorante und erhält die absolute Konvergenz der Reihe.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man und , betrachtet die Intervallmitte und berechnet

Bei setzt man

und bei setzt man

In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei die durch diese Intervallschachtelung definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert , also . Für die oberen Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich ebenfalls auf , also .  Also ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein Polynom vom Grad . Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.


Lösung

Die Tangente zu wird durch

beschrieben. Der Punkt gehört zum Graphen und zur Tangente; wir müssen zeigen, dass kein weiterer Punkt zum Durchschnitt gehört. Nehmen wir an, es gäbe einen weiteren Punkt mit . Dies bedeutet

Dies führt auf

Division durch ergibt

und daraus erhält man

Wegen folgt der Widerspruch


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

streng wachsend ist.


Lösung

Die Ableitung ist

Wegen und und für ist die Ableitung nichtnegativ und hat nur für eine Nullstelle. Die Funktion ist also nach Satz 19.5 streng wachsend.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion

in einem Punkt .


Lösung

Wenn differenzierbar ist, so setzen wir . Für die Funktion muss notwendigerweise

gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes

und hat den Wert . Dies bedeutet, dass in stetig ist.

Wenn umgekehrt und mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für die Beziehung

Da stetig in ist, muss auch der Limes links für existieren.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Funktion, die die Funktionalgleichung

für alle erfülle und die in differenzierbar sei. Zeige, dass dann in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung mit einem festen gilt.


Lösung

Bei ist , so dass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen ) erfüllt. Sei also . Dann ist wegen . Der Differenzenquotient ist

Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für gegen . Also konvergiert der Differenzenquotient gegen und die Ableitungseigenschaft ist mit erfüllt.


Aufgabe (5 Punkte)

Zu einem Startwert sei die Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, für welche die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir betrachten die Funktion . Es ist . Die Ableitung der Funktion ist . Daher verläuft der Graph von für echt oberhalb der Diagonalen und für echt unterhalb der Diagonalen. Insbesondere ist , wobei Gleichheit nur bei

gilt. Insbesondere ist also die rekursiv definierte Folge wachsend. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt für den Grenzwert einer solchen Folge (falls er existiert)

Diese Bedingung wird nur von erfüllt und dies ist der einzige mögliche Grenzwert. Bei einem Startwert kann die Folge wegen des Wachstumsverhaltens nicht konvergieren. Bei einem Startwert ist

Daher ist eine solche Folge wachsend und nach oben beschränkt und muss somit konvergieren, und zwar gegen den einzig möglichen Grenzwert .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von .


Lösung

Durch Multiplikation mit und Umstellen erhält man

Also ist

eine Stammfunktion von .


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

a) Es sei und es sei
eine rationale Funktion in

und in . Man gebe direkt (ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung) eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.

b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (mit )


Lösung

a) Wir betrachten die Substitution bzw. . Damit ist

Dabei ist jetzt eine rationale Funktion in , und bei der Multiplikation mit bleibt dies eine rationale Funktion.

b) Mit der Substitution bzw. ist

Polynomdivision ergibt

und daher ist dieses Integral gleich

Eine Stammfunktion ist daher

Somit ist

eine Stammfunktion von .


Aufgabe (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

c) Löse das Anfangswertproblem


Lösung

a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von bestimmen, eine solche ist . Die Exponentialfunktion davon ist , so dass (mit ) die Lösungen von sind.

b) Eine Stammfunktion zu ist

Damit ist

eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind

alle Lösungen.

c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung erfüllt sein soll, so muss

gelten, also

Die Lösungs des Anfangsproblems ist also


Aufgabe (2 Punkte)

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).





Lösung

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