Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 4 4 2 5 1 9 3 5 2 9 3 9 4 4 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
  2. Eine beschränkte Teilmenge in einem metrischen Raum .
  3. Eine polynomiale Funktion
  4. Eine stark kontrahierende Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und .

  5. Ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem.
  6. Die Faser zu einer Abbildung

    über einem Punkt .

  7. Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt eines euklidischen Vektorraumes.

  8. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes

    lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
  2. Der Satz über zusammenhängende Teilmengen in .
  3. Der Satz über implizite Abbildungen.
  4. Der Satz über Gradientenfelder auf einer sternförmigen Menge.


Aufgabe * (2 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass auch wegzusammenhängend ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014, aus mathematischen Gründen ohne 1998.

Jahr Gastgeber Weltmeister

Es sei die Menge der Gastgeberländer und

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf eine Metrik derart, dass zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass eine starke Kontraktion ist?


Aufgabe * (9 (4+5) Punkte)

Es sei eine nichtleere Teilmenge, .

a) sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

b) sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Länge der durch

gegebenen Schraubenlinie für zwischen und , wobei .


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Es sei

eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige, dass die beiden Funktionen und auf (dem Bild) der Lösung konstant sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein fixiertrer Vektor und

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

für alle . Es sei

eine Lösung zur Differentialgleichung

Zeige, dass auch

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.


Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen und , wobei endlichdimensionale -Vektorräume sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.


Aufgabe * (9 (4+5) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die kritischen Punkte und Extrema von .
  2. Bestimme für jeden kritischen Punkt von und jede Gerade durch , ob längs dieser Geraden in lokale Extrema besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Ellipse


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

mit

Zeige auf zweifache Weise, dass kein Gradientenfeld ist.

  1. Mit der Integrabilitätsbedingung.
  2. Mit Wegintegralen.