Lösung
- Ein Skalarprodukt auf
ist eine Abbildung
-
mit folgenden Eigenschaften:
- Es ist
-

für alle
,
und ebenso in der zweiten Komponente.
- Es ist
-

für alle
.
- Es ist
für alle
und
genau dann, wenn
ist.
- Die
Teilmenge
heißt beschränkt, wenn es eine
reelle Zahl
mit
-
gibt.
- Eine polynomiale Funktion ist eine
Funktion
-
die man als eine Summe der Form
-

mit
schreiben kann, wobei nur endlich viele
sind.
- Die Abbildung
heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative
reelle Zahl
gibt mit
-
für alle
.
- Es sei
ein
offenes reelles Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
-
wobei
-
eine
Matrix
ist, deren Einträge allesamt
Funktionen
-
sind und wobei
-
eine Abbildung ist, heißt inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
- Die Faser über
ist die Menge
-

- Der Gradient von
in
ist der eindeutig bestimmte Vektor
mit
-

für alle
.
- Man sagt, dass das Vektorfeld
lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt
eine offene Umgebung
-
derart gibt, dass das auf
eingeschränkte Vektorfeld einer
Lipschitz-Bedingung
genügt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Abschätzung von Cauchy-Schwarz
(oder
Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
- Der Satz über zusammenhängende Teilmengen in
.
- Der
Satz über implizite Abbildungen.
- Der
Satz über Gradientenfelder
auf einer sternförmigen Menge.
Lösung
- Sei
ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
und der zugehörigen
Norm
. Dann gilt die Abschätzung
-

für alle
.
- Eine Teilmenge
der
[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start=
{{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]]
ist genau dann
zusammenhängend,
wenn
ein
(nichtleeres)
Intervall
ist.
- Sei
[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start=
{{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|offen]]
und sei
-
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
und es sei
die
Faser durch
. Das
[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start=
{{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|totale Differential]]
sei
surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge
,
,
eine offene Menge
und eine stetig differenzierbare Abbildung
-
derart, dass
ist und
eine
Bijektion
-
induziert.
- Es sei
eine
[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start=
{{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|sternförmige]]
[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start=
{{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|offene Teilmenge]]
und
-
ein
[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start=
{{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|stetig differenzierbares]]
Vektorfeld.
Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
ist ein Gradientenfeld.
erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
- Für jeden stetig differenzierbaren Weg
hängt das Wegintegral
nur vom Anfangspunkt
und Endpunkt
ab.
Entscheide, ob das
uneigentliche Integral
-
existiert.
Lösung
Lösung
Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014, aus mathematischen Gründen ohne 1998.
Jahr |
Gastgeber |
Weltmeister
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
Es sei
die Menge der Gastgeberländer und
-
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf
eine Metrik derart, dass
zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass
eine starke Kontraktion ist?
Lösung
Aufgabe (9 (4+5) Punkte)
Es sei
eine nichtleere Teilmenge,
.
a)
sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion
-
gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
b)
sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion
-
gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
Lösung
a) Wir betrachten die stetige Funktion
-
und die
(ebenfalls stetige) Einschränkung davon auf
. Da
unbeschränkt ist, gibt es für jedes
ein
mit
-

Daher ist natürlich
(bei
) auch
-

so dass das Bild von
nicht beschränkt ist.
b)
sei nicht abgeschlossen. Dann gibt es eine Folge
in
, die gegen einen Punkt
mit
konvergiert. Es sei
-
Wir betrachten die Funktion
-
Diese Funktion ist auf

definiert, da sie auf

definiert ist, da die Summe der Quadrate positiv ist, sobald in einer Komponente

ist. Diese Funktion ist stetig als Kehrwertfunktion einer nullstellenfreien stetigen Funktion.
Wir behaupten, dass diese Funktion auf
unbeschränkt ist. Dazu sei
vorgegeben und sei
mit
. Da die Folge
gegen
konvergiert, gibt es ein
mit
-
Daher ist
-

und die Funktion ist auf
unbeschränkt.
Bestimme die
Länge
der durch
-
gegebenen Schraubenlinie für
zwischen
und
,
wobei
.
Lösung
Es ist

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
-

Es sei
-
eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige, dass die beiden Funktionen
und
auf
(dem Bild)
der Lösung konstant sind.
Lösung
Es sei
. Da es sich um eine Lösung handelt gilt
-

-

und
-

Daraus folgt direkt, dass die dritte Komponente, also
, einer Lösung konstant ist.
Um zu zeigen, dass auch
auf der Lösung konstant ist, berechnen wir die Ableitung der Verknüpfung
. Diese ist

Also ist
ebenfalls konstant auf der Lösung.
Es sei
ein
euklidischer Vektorraum,
ein fixiertrer Vektor und
-
ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
-

für alle
. Es sei
-
eine Lösung zur Differentialgleichung
-

Zeige, dass auch
-

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Lösung
Es ist

daher ist auch
eine Lösung.
Lösung
Wir haben nach Voraussetzung
(wobei wir
setzen)
-

und
-

mit linearen Abbildungen
und
,
und mit in
stetigen Funktionen
und
,
die beide in
den Wert
annehmen. Damit gilt
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} (\psi \circ \varphi)(P+v) & = \psi(\varphi(P+v)) \\ & = \psi { \left( \varphi(P)+L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v) \right) } \\ & = \psi(\varphi(P))+M(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) + \Vert {L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \\ & = \psi(\varphi(P))+M(L(v))+ M(\Vert {v} \Vert r(v)) + \Vert {L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \\ & = \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v)+ \Vert {v} \Vert M(r(v)) + \Vert {\Vert {v} \Vert L { \left( \frac{v} { \Vert {v} \Vert } \right) } + \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \\ & = \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v) + \Vert {v} \Vert { \left( M(r(v))+ \Vert {L { \left( \frac{v} { \Vert {{{{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>}}}} \Vert } \right) } + r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \right) } . \, \end{align} }
Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für
. Der Ausdruck
-

ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand
ist in
stetig und hat dort auch den Wert
. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der
-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da
auf der
kompakten
Einheitssphäre
nach Satz 36.11
beschränkt ist und da
in
stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber
hat für
den Grenzwert
. Damit ist auch
in
stetig und hat dort den Grenzwert
.
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
-
in jedem Punkt.
Lösung
Die partiellen Ableitungen sind
-

-

-

-

-

und
-

Somit ist die Jacobi-Matrix in einem Punkt
gleich
-
Aufgabe (9 (4+5) Punkte)
Lösung
- Es ist
-
Um die kritischen Punkte zu finden setzt man diese beiden Funktionen gleich
. Das bedeutet
-

und
-

Es ist also
-
und daher gibt es die beiden kritischen Punkte
-
Die Hesse-Matrix ist
-
In
ist dies
-
wobei der erste Minor
und die Determinante
ist. Also liegt nach
Satz 50.2
kein lokales Extremum vor. In
ist die Hesse-Matrix
-
die Minoren sind
und daher ist die Matrix positiv definit und es liegt ein lokales Minimum vor, das auch ein globales Minimum ist.
- Da in
ein globales Minimum vorliegt, gilt dies auch für die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch diesen Punkt. Betrachten wir also den Nullpunkt
. Eine Gerade durch diesen Punkt wird durch
-
mit
,
,
beschrieben. Die eingeschränkte Funktion auf eine solche Gerade ist durch
-

gegeben. Die Ableitungen davon sind
-

-

und
-

Im Nullpunkt ist dabei
-

-

und
-

Bei
und
liegt längs dieser Geraden ein lokales Minimum vor. Ebenso bei
und
. Bei
und
und bei
und
liegt ein lokales Maximum vor. Bei
ist
, die beiden ersten Ableitungen sind
und die dritte nicht, daher liegt nach
Fakt *****
kein lokales Extremum vor. Bei
und
liegt aus dem gleichen Grund kein lokales Extremum vor.
Bestimme die
lokalen Extrema
der Funktion
-

auf der Ellipse
-

Lösung
Wir verwenden
Korollar 54.5
mit
und der Linearform
. Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum führt auf
-

Dies bedeutet
und
.
Einsetzen in die Gleichung für
liefert

Also ist
-

Es seien
-
die zugehörigen Punkte, an denen ein lokales Extremum vorliegen kann. Wegen
und
liegt wegen der Kompaktheit der Ellipse in
das globale Maximum und in
das globale Minimum vor.
Aufgabe (4 (1+3) Punkte)
Wir betrachten das Vektorfeld
-
mit
-

Zeige auf zweifache Weise, dass
kein Gradientenfeld ist.
- Mit der Integrabilitätsbedingung.
- Mit Wegintegralen.
Lösung
- Es ist
-

und
-

Daher ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt und es kann kein Gradientenfeld vorliegen.
- Wir betrachten Wegintegrale mit dem Anfangs- und Endpunkt
, in einem Gradientenfeld ist für solche geschlossenen Wege das Wegintegral gleich
. Wir betrachten den Weg
-
Das Wegintegral dazu ist
-

Der Integrand ist hier stets negativ und daher ist auch das Integral negativ und nicht
. Also ist
kein Gradientenfeld.