Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 4 4 2 5 1 9 3 5 2 9 3 9 4 4 64




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
  2. Eine beschränkte Teilmenge in einem metrischen Raum .
  3. Eine polynomiale Funktion
  4. Eine stark kontrahierende Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und .

  5. Ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem.
  6. Die Faser zu einer Abbildung

    über einem Punkt .

  7. Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt eines euklidischen Vektorraumes.

  8. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes

    lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.


Lösung

  1. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

    mit folgenden Eigenschaften:

    1. Es ist

      für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.

    2. Es ist

      für alle .

    3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.
  2. Die Teilmenge heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl mit

    gibt.

  3. Eine polynomiale Funktion ist eine Funktion

    die man als eine Summe der Form

    mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind.

  4. Die Abbildung heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl gibt mit

    für alle .

  5. Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

    sind und wobei

    eine Abbildung ist, heißt inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

  6. Die Faser über ist die Menge
  7. Der Gradient von in ist der eindeutig bestimmte Vektor mit

    für alle .

  8. Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung

    derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
  2. Der Satz über zusammenhängende Teilmengen in .
  3. Der Satz über implizite Abbildungen.
  4. Der Satz über Gradientenfelder auf einer sternförmigen Menge.


Lösung

  1. Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Dann gilt die Abschätzung
    für alle .
  2. Eine Teilmenge der [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]] ist genau dann zusammenhängend, wenn ein (nichtleeres) Intervall ist.
  3. Sei [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|offen]] und sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|totale Differential]] sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

    derart, dass ist und eine Bijektion

    induziert.
  4. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|sternförmige]] [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|offene Teilmenge]] und

    ein [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|stetig differenzierbares]] Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

    1. ist ein Gradientenfeld.
    2. erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
    3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg hängt das Wegintegral nur vom Anfangspunkt und Endpunkt ab.


Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.


Lösung

Für gilt die Abschätzung

Für die beiden Summanden existiert das uneigentliche Integral von bis nach Beispiel 31.6. Daher existiert nach Lemma 31.4 auch .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass auch wegzusammenhängend ist.


Lösung

Zu einem Punkt betrachten wir die Menge

Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte entweder oder aber . Wenn nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre und es gäbe eine Zerlegung

in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.


Aufgabe (1 Punkt)

Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014, aus mathematischen Gründen ohne 1998.

Jahr Gastgeber Weltmeister

Es sei die Menge der Gastgeberländer und

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf eine Metrik derart, dass zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass eine starke Kontraktion ist?


Lösung

Da auf und auf abgebildet wird, bleibt der Abstand des Paares auf jeden Fall erhalten, es kann also keine starke Kontraktion geben.


Aufgabe (9 (4+5) Punkte)

Es sei eine nichtleere Teilmenge, .

a) sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

b) sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.


Lösung

a) Wir betrachten die stetige Funktion

und die

(ebenfalls stetige) Einschränkung davon auf . Da unbeschränkt ist, gibt es für jedes ein mit

Daher ist natürlich

(bei ) auch

so dass das Bild von nicht beschränkt ist.

b) sei nicht abgeschlossen. Dann gibt es eine Folge in , die gegen einen Punkt mit konvergiert. Es sei

Wir betrachten die Funktion

Diese Funktion ist auf definiert, da sie auf definiert ist, da die Summe der Quadrate positiv ist, sobald in einer Komponente ist. Diese Funktion ist stetig als Kehrwertfunktion einer nullstellenfreien stetigen Funktion.

Wir behaupten, dass diese Funktion auf unbeschränkt ist. Dazu sei vorgegeben und sei mit . Da die Folge gegen konvergiert, gibt es ein mit

Daher ist

und die Funktion ist auf unbeschränkt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Länge der durch

gegebenen Schraubenlinie für zwischen und , wobei .


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Es sei

eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige, dass die beiden Funktionen und auf (dem Bild) der Lösung konstant sind.


Lösung

Es sei . Da es sich um eine Lösung handelt gilt

und

Daraus folgt direkt, dass die dritte Komponente, also , einer Lösung konstant ist. Um zu zeigen, dass auch auf der Lösung konstant ist, berechnen wir die Ableitung der Verknüpfung . Diese ist

Also ist ebenfalls konstant auf der Lösung.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein fixiertrer Vektor und

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

für alle . Es sei

eine Lösung zur Differentialgleichung

Zeige, dass auch

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.


Lösung

Es ist

daher ist auch eine Lösung.


Aufgabe (9 Punkte)

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen und , wobei endlichdimensionale -Vektorräume sind.


Lösung

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir setzen)

und

mit linearen Abbildungen und , und mit in stetigen Funktionen und , die beide in den Wert annehmen. Damit gilt

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} (\psi \circ \varphi)(P+v) & = \psi(\varphi(P+v)) \\ & = \psi { \left( \varphi(P)+L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v) \right) } \\ & = \psi(\varphi(P))+M(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) + \Vert {L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \\ & = \psi(\varphi(P))+M(L(v))+ M(\Vert {v} \Vert r(v)) + \Vert {L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \\ & = \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v)+ \Vert {v} \Vert M(r(v)) + \Vert {\Vert {v} \Vert L { \left( \frac{v} { \Vert {v} \Vert } \right) } + \Vert {v} \Vert r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \\ & = \psi(\varphi(P))+(M \circ L)(v) + \Vert {v} \Vert { \left( M(r(v))+ \Vert {L { \left( \frac{v} { \Vert {{{{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>}}}} \Vert } \right) } + r(v)} \Vert s(L(v)+ \Vert {v} \Vert r(v)) \right) } . \, \end{align} }

Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für . Der Ausdruck

ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand ist in stetig und hat dort auch den Wert . Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der -Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da auf der kompakten Einheitssphäre nach Satz 36.11 beschränkt ist und da in stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber hat für den Grenzwert . Damit ist auch in stetig und hat dort den Grenzwert .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.


Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

und

Somit ist die Jacobi-Matrix in einem Punkt gleich


Aufgabe (9 (4+5) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die kritischen Punkte und Extrema von .
  2. Bestimme für jeden kritischen Punkt von und jede Gerade durch , ob längs dieser Geraden in lokale Extrema besitzt.


Lösung

  1. Es ist

    Um die kritischen Punkte zu finden setzt man diese beiden Funktionen gleich . Das bedeutet

    und

    Es ist also

    und daher gibt es die beiden kritischen Punkte

    Die Hesse-Matrix ist

    In ist dies

    wobei der erste Minor und die Determinante ist. Also liegt nach Satz 50.2 kein lokales Extremum vor. In ist die Hesse-Matrix

    die Minoren sind und daher ist die Matrix positiv definit und es liegt ein lokales Minimum vor, das auch ein globales Minimum ist.

  2. Da in ein globales Minimum vorliegt, gilt dies auch für die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch diesen Punkt. Betrachten wir also den Nullpunkt . Eine Gerade durch diesen Punkt wird durch

    mit , , beschrieben. Die eingeschränkte Funktion auf eine solche Gerade ist durch

    gegeben. Die Ableitungen davon sind

    und

    Im Nullpunkt ist dabei

    und

    Bei und liegt längs dieser Geraden ein lokales Minimum vor. Ebenso bei und . Bei und und bei und liegt ein lokales Maximum vor. Bei ist , die beiden ersten Ableitungen sind und die dritte nicht, daher liegt nach Fakt ***** kein lokales Extremum vor. Bei und liegt aus dem gleichen Grund kein lokales Extremum vor.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Ellipse


Lösung

Wir verwenden Korollar 54.5 mit und der Linearform . Die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum führt auf

Dies bedeutet und . Einsetzen in die Gleichung für liefert

Also ist

Es seien

die zugehörigen Punkte, an denen ein lokales Extremum vorliegen kann. Wegen und liegt wegen der Kompaktheit der Ellipse in das globale Maximum und in das globale Minimum vor.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

mit

Zeige auf zweifache Weise, dass kein Gradientenfeld ist.

  1. Mit der Integrabilitätsbedingung.
  2. Mit Wegintegralen.


Lösung

  1. Es ist

    und

    Daher ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt und es kann kein Gradientenfeld vorliegen.

  2. Wir betrachten Wegintegrale mit dem Anfangs- und Endpunkt , in einem Gradientenfeld ist für solche geschlossenen Wege das Wegintegral gleich . Wir betrachten den Weg

    Das Wegintegral dazu ist

    Der Integrand ist hier stets negativ und daher ist auch das Integral negativ und nicht . Also ist kein Gradientenfeld.