Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei ein
reelles Intervall,
und
sei ein
(uneigentlicher) Randpunkt
von
. Es seien
stetige Funktionen mit
und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
existiert.
Dann existiert auch das uneigentliche Integral
und es gilt
Es sei
ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei
eine
stetige
fallende Funktion
mit
für alle
.
Dann existiert das uneigentliche Integral
genau dann, wenn die Reihe
konvergiert.
Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.
- Es ist
für
.
- Es ist
.
- Es ist
für natürliche Zahlen
.
- Es ist
.
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
und der zugehörigen
Norm
.
Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich
für alle
.
Es sei ein
Vektorraum
über
mit einem
Skalarprodukt
. Dann besitzt der zugehörige
Abstand
die folgenden Eigenschaften
(dabei sind
).
- Es ist
.
- Es ist
genau dann, wenn
.
- Es ist
.
- Es ist
-
Der sei mit der
euklidischen Metrik
versehen und sei
eine
Folge
in
mit
Dann
konvergiert
die Folge im genau dann, wenn alle Komponentenfolgen
in
konvergieren.
Es sei ein
metrischer Raum und
eine Teilmenge.
Dann ist genau dann
abgeschlossen,
wenn jede Folge
,
die in
konvergiert,
bereits in
konvergiert.
Es sei
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
und
und sei
ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist stetig im Punkt
.
- Für jedes
gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass aus
folgt, dass
ist.
-
- Für jede
konvergente Folge
in
mit
ist auch die Bildfolge
konvergent mit dem Grenzwert
.
Es sei
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
und
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist stetig in jedem Punkt
.
- Für jeden Punkt
und jedes
gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass aus
folgt, dass
ist.
- Für jeden Punkt
und jede konvergente Folge
in
mit
ist auch die Bildfolge
konvergent mit dem Grenzwert
.
- Für jede
offene Menge
ist auch das Urbild
offen.
Es seien
metrische Räume
und seien
stetige Abbildungen.
Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
stetig.
Es sei ein
metrischer Raum und seien
Funktionen
(für )
gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung
Dann ist genau dann
stetig,
wenn alle Komponentenfunktionen
stetig sind.
Es sei mit der
euklidischen Metrik
versehen und sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist
stetig.
Eine polynomiale Funktion
ist stetig.
Es sei
eine
Teilmenge
der
reellen Zahlen.
Dann ist genau dann
zusammenhängend,
wenn
ein
(nichtleeres)
Intervall
ist.
Es seien
und
metrische Räume
und sei
eine
stetige Abbildung. Es sei
eine
zusammenhängende
Teilmenge.
Dann ist auch das Bild
zusammenhängend.
Es sei ein nicht-leerer
vollständiger
metrischer Raum
und
stark kontrahierende Abbildung.
Dann besitzt genau einen
Fixpunkt.
Es sei
eine Teilmenge.
Dann ist genau dann
kompakt,
wenn jede Folge in
eine in
konvergente
Teilfolge
besitzt.
Es sei
eine
kompakte Teilmenge
und
eine stetige Abbildung.
Dann ist auch das
Bild
kompakt.
Es sei
eine nichtleere
kompakte
Teilmenge und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein
mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
Jedes nichtkonstante
Polynom
über den
komplexen Zahlen
besitzt eine Nullstelle.
Es sei ein
reeller
endlichdimensionaler
Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte
und
auf
gegeben.
Dann stimmen die über die
zugehörigen Normen
und
definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge
ist genau dann
offen
bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
eine
Abbildung.
Es sei eine
Basis
von
und es seien
die zugehörigen
Komponentenfunktionen
von . Es sei
.
Dann ist genau dann
differenzierbar
in
, wenn sämtliche Funktionen
in
differenzierbar
sind.
In diesem Fall gilt
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
eine differenzierbare Kurve.
Dann gibt es ein
mit
Es sei ein
kompaktes Intervall
und
eine stetig differenzierbare Abbildung.
Dann ist
rektifizierbar
und für die
Kurvenlänge
gilt
Es sei ein
kompaktes
Intervall
und es sei
eine stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist die
Länge
des
Graphen
von gleich
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
eine stetige Abbildung.
Dann gilt
Es sei
eine
offene Teilmenge
in einem
euklidischen Vektorraum,
ein stetiges Vektorfeld und
eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei
eine
bijektive,
monoton wachsende,
stetig differenzierbare Funktion
und sei
.
Dann gilt
Es sei
eine
offene Teilmenge
in einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
. Es sei
ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion
Es sei
und es sei
eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung
Dann ist
eine Lösung des Anfangswertproblems
Es sei
ein
Intervall,
eine
offene Menge
und
eine Funktion.
Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung
über die Beziehung
äquivalent zum Differentialgleichungssystem
Es sei
ein
offenes Intervall
und es liege eine
inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
der Form
mit
stetigen Funktionen
und
und den Anfangsbedingungen
vor.
Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich
löst.
Es sei
mit
eine
lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei
eine
invertierbare Matrix
und es sei
Dann ist
genau dann eine
Lösung
von
,
wenn
eine Lösung der Differentialgleichung
ist.
Es sei
mit
ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann gibt es eine
invertierbare Matrix
derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
(mit
)
ist.
Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem
Lösungsverfahren
für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen
für
gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.
Es sei
mit
eine
lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix
sei
diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren
.
Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich
wobei der Eigenwert zu
ist.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
eine
offene Teilmenge,
und
eine Abbildung. Es sei
ein Punkt und
ein fixierter Vektor.
Dann ist in
in Richtung
genau dann
differenzierbar,
wenn die
(auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um
definierte)
Kurve
in
differenzierbar
ist. In diesem Fall ist
Es sei
offen und
eine Abbildung, so dass für
die zweiten Richtungsableitungen
und
existieren und stetig sind.
Dann gilt
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
und
offene Mengen,
und
und
Abbildungen derart, dass
gilt. Es sei weiter angenommen, dass
in
und
in
total differenzierbar
ist.
Dann ist
in
differenzierbar mit dem
totalen Differential
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
es sei
eine
offene Teilmenge
und
eine im Punkt
differenzierbare Abbildung.
Dann ist in
in jede Richtung
differenzierbar,
und es gilt
Es sei
offen
und
eine in
differenzierbare Abbildung.
Dann ist in
partiell differenzierbar,
und das totale Differential ist bezüglich der Standardbasis durch die
Jacobi-Matrix
gegeben.
Es sei
offen und
eine Abbildung. Es seien
,
,
die Koordinaten von
und
ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle
partiellen Ableitungen
von
in einer
offenen Umgebung
von
existieren und in
stetig
sind.
Dann ist in
(total) differenzierbar.
Ist die Abbildung bezüglich der
Standardbasis
des
durch die
Koordinatenfunktionen
gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in
durch die
Jacobi-Matrix
beschrieben.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
sei
offen
und sei
eine in
differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für jeden Vektor
ist
-
- Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn
linear abhängig zum Gradienten ist.
- Sei
. Unter allen Vektoren
mit
ist die Richtungsableitung in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der Norm des Gradienten.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
offen
und
eine in
differenzierbare Funktion.
Es sei
eine
differenzierbare Kurve
mit
,
die ganz innerhalb einer Niveaumenge von
verläuft.
Dann steht der
Gradient
zu senkrecht auf
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
und
eine
offene
Teilmenge. Es sei
eine
Funktion,
die im Punkt
ein
lokales Extremum
besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
in
in Richtung
differenzierbar ist, so ist
-
- Wenn
in
total differenzierbar ist, so verschwindet das totale Differential, also
-
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
mit einer
symmetrischen
Bilinearform
vom
Typ
.
Dann ist die
Gramsche Matrix
von bezüglich einer jeden
Orthogonalbasis
eine
Diagonalmatrix
mit
positiven und
negativen Einträgen.
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei
eine
Basis
von
. Es sei
die
Gramsche Matrix
zu
bezüglich dieser Basis und es seien
die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
- Genau dann ist
positiv definit, wenn alle
positiv sind.
- Genau dann ist
negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge
an jeder Stelle wechselt.
Es sei
offen,
stetig differenzierbare
Funktion,
ein Punkt und
derart, dass
ist.
Dann gilt für alle mit
die Beziehung
wobei
ist.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
eine
offene
Teilmenge
und
eine zweimal
stetig differenzierbare
Funktion. Es sei
ein Punkt, in dem die
Hesse-Form
positiv (negativ) definit
sei.
Dann gibt es eine offene Umgebung
,
,
derart, dass die Hesse-Form
in jedem Punkt
positiv
(negativ)
definit ist.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
eine
offene
Teilmenge
und
eine zweimal
stetig differenzierbare
Funktion.
Es sei
mit
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn
negativ definit ist, so besitzt
ein isoliertes lokales Maximum in
.
- Wenn
positiv definit ist, so besitzt
ein isoliertes lokales Minimum in
.
- Wenn
indefinit ist, so besitzt
in
weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
und
offene Teilmengen und sei
eine
bijektive
differenzierbare Abbildung.
Sei
. Das
totale Differential
sei bijektiv und die Umkehrabbildung
sei
stetig
in
.
Dann ist die Umkehrabbildung differenzierbar in und für ihre Ableitung gilt
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
sei
offen
und es sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
ein Punkt derart, dass das
totale Differential
bijektiv ist.
Dann gibt es eine offene Menge
und eine offene Menge
mit
und mit
derart, dass
eine
Bijektion
induziert, und dass die Umkehrabbildung
ebenfalls stetig differenzierbar ist.
Es seien
und
euklidische Vektorräume,
sei
offen
und enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsstrecke. Es sei
eine differenzierbare Abbildung und es gelte
für alle
.
Dann gilt für
die Abschätzung
Es sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
und es sei
die
Faser durch
. Das
totale Differential
sei
surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge
,
,
eine offene Menge
und eine stetig differenzierbare Abbildung
derart, dass
ist und
eine
Bijektion
induziert.
Die Abbildung ist in jedem Punkt
regulär
und für das
totale Differential
von
gilt
Es sei
eine
offene Teilmenge
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung,
.
Es sei
die
Faser
von
über
.
Es sei
eine
differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion besitze im Punkt
ein
lokales Extremum
auf
und
sei ein
regulärer Punkt
von
.
Dann ist
d.h. die Linearform verschwindet auf dem
Tangentialraum
an der Faser von
durch
.
Die Linearform ist eine Linearkombination aus den Linearformen
Es sei
eine
offene Teilmenge
und seien
und
stetig differenzierbare Funktionen.
Es sei
und
die
Faser
von
über
. Die eingeschränkte Funktion
besitze im Punkt
ein
lokales Extremum
auf
und
sei ein
regulärer Punkt
von
.
Dann ist ein Vielfaches von
, d.h. es gibt ein
mit
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
ein Punkt, in dem das
totale Differential
injektiv
sei.
Dann gibt es eine
offene Umgebung
,
,
derart, dass
injektiv ist.
Es sei
ein
reelles
offenes Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf derart, dass die
partiellen Ableitungen
nach
existieren und
stetig
sind.
Dann genügt
lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Es seien
und
eine Folge von
stetigen Abbildungen,
die
gleichmäßig
gegen die Abbildung konvergiert.
Dann ist stetig.
Es sei
eine
kompakte
Teilmenge, es sei
ein
euklidischer Vektorraum
und es sei
der
Vektorraum der stetigen Abbildungen
von
nach
.
Dann ist , versehen mit der
Maximumsnorm,
ein
vollständiger metrischer Raum.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein stetiges
Vektorfeld
auf . Es sei
vorgegeben.
Dann ist eine stetige Abbildung
auf einem
Intervall
mit
genau dann eine
Lösung des Anfangswertproblems
(insbesondere muss
differenzierbar sein)
wenn die Integralgleichung
erfüllt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf . Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
stetig
sei und
lokal einer Lipschitz-Bedingung
genüge.
Dann gibt es zu jedem
ein
offenes Intervall
mit
derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige
Lösung für das Anfangswertproblem
existiert.
Es sei
eine
offene zusammenhängende Teilmenge
und
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
ist ein Gradientenfeld.
- Für jeden
stetig differenzierbaren Weg
hängt das Wegintegral
nur vom Anfangspunkt
und Endpunkt
ab.
Es sei
eine sternförmige
offene Teilmenge
und
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
ist ein Gradientenfeld.
erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
- Für jeden
stetig differenzierbaren Weg
hängt das Wegintegral
nur vom Anfangspunkt
und Endpunkt
ab.