Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage

???: Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}a\in I$ und ${}r$ sei ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$. Es seien

$f,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

stetige Funktionen mit

$f(t)\leq h(t){\text{ für alle }}t\in I$

und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

$\int _{a}^{r}h(t)\,dt$

existiert.

Dann existiert auch das uneigentliche Integral

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

und es gilt

${}\int _{a}^{r}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{r}h(t)\,dt\,.$

 

???: Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale

Sei ${}I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige fallende Funktion mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$.

Dann existiert das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$

genau dann, wenn die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

konvergiert.

 

???: Eigenschaften der Fakultätsfunktion

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(x)=x\cdot \operatorname {Fak} \,(x-1)$ für ${}x>0$.
2. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(0)=1$.
3. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(n)=n!$ für natürliche Zahlen ${}n\in \mathbb {N}$.
4. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\sqrt {\pi }}$.

 

???: Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz

Sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$.

 

???: Abstandseigenschaften

Sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind $u,v,w\in V$).

1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

 

???: Konvergenz in R^n

Der ${}\mathbb {R} ^{m}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{m}$ mit

${}z_{n}={\left(z_{1n},\ldots ,z_{mn}\right)}\,.$

Dann konvergiert die Folge genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${}{\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ konvergieren.

 

???: Abgeschlossene Mengen und konvergente Folgen

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die in ${}M$ konvergiert, bereits in ${}T$ konvergiert.

 

???: Folgenkriterium für Stetigkeit

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ und sei ${}x\in L$ ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass

   ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon \,$

   ist.

3. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

 

???: Charakterisierung stetiger Abbildungen

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig in jedem Punkt ${}x\in L$.
2. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass aus ${}d(x,x')\leq \delta$ folgt, dass ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ ist.
3. Für jeden Punkt ${}x\in L$ und jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.
4. Für jede offene Menge ${}V\subseteq M$ ist auch das Urbild ${}f^{-1}(V)$ offen.

 

???: Hintereinanderschaltung stetiger Abbildungen

Seien ${}L,M,N$ metrische Räume und seien

$f:L\longrightarrow M\,\,{\text{ und }}\,\,g:M\longrightarrow N$

stetige Abbildungen.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)),$

stetig.

 

???: Stetigkeit von Komponentenfunktionen

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und seien Funktionen

$f_{i}\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }$

(für $i=1,\ldots ,m$) gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung

$f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,x\longmapsto {\left(f_{1}(x),\ldots ,f_{m}(x)\right)}.$

Dann ist ${}f$ genau dann stetig, wenn alle Komponentenfunktionen ${}f_{i}$ stetig sind.

 

???: Stetigkeit linearer Abbildungen

Es sei ${}{\mathbb {K} }^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen und sei

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ stetig.

 

???: Stetigkeit polynomialer Funktionen

Eine polynomiale Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

ist stetig.

 

???: Zusammenhängende Teilmengen von R

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Dann ist ${}T$ genau dann zusammenhängend, wenn ${}T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.

 

???: Bilder zusammenhängender Räume

Seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und sei

$f\colon L\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}S\subseteq L$ eine zusammenhängende Teilmenge.

Dann ist auch das Bild

$f(S)$

zusammenhängend.

 

???: Der Banachsche Fixpunktsatz

Es sei ${}M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine

stark kontrahierende Abbildung.

Dann besitzt ${}f$ genau einen Fixpunkt.

 

???: Folgencharakterisierung von kompakt

Sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in ${}T$ eine in ${}T$ konvergente Teilfolge besitzt.

 

???: Bilder kompakter Mengen

Sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetige Abbildung.

Dann ist auch das Bild ${}f(T)$ kompakt.

 

???: Maximum auf kompakten Mengen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ${}x\in T$ mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

 

???: Der Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in \mathbb {C} [X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

 

???: Unabhängigkeit der Topologie von Skalarprodukt

Es sei ${}V$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte ${}\left\langle -,-\right\rangle _{1}$ und ${}\left\langle -,-\right\rangle _{2}$ auf ${}V$ gegeben.

Dann stimmen die über die zugehörigen Normen ${}\Vert {-}\Vert _{1}$ und ${}\Vert {-}\Vert _{2}$ definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.

 

???: Differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es seien

$f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Komponentenfunktionen von ${}f$. Es sei ${}t\in I$.

Dann ist ${}f$ genau dann differenzierbar in ${}t$, wenn sämtliche Funktionen ${}f_{j}$ in ${}t$ differenzierbar sind.

In diesem Fall gilt

${}f'(t)=f_{1}'(t)\cdot v_{1}+f_{2}'(t)\cdot v_{2}+\cdots +f_{n}'(t)\cdot v_{n}\,.$

 

???: Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon [a,b]\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$

eine differenzierbare Kurve.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$

 

???: Kurvenlängensatz

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

${}L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$

 

???: Kurvenlänge eines Graphen

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion.

Dann ist die Länge des Graphen von ${}f$ gleich

$\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.$

 

???: Integralabschätzung für stetige Kurven

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$g\colon [a,b]\longrightarrow V$

eine stetige Abbildung.

Dann gilt

${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$

 

???: Wegintegrale bei Umparametrisierung

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

$F\colon U\longrightarrow V$

ein stetiges Vektorfeld und

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

$g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$.

Dann gilt

${}\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$

 

???: Lösungsansatz für Zentralfelder

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$. Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,$

ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).$

Es sei ${}w\in U$ und es sei

$\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung

$z'=h(t,z):=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1.$

Dann ist

${}v(t)=\alpha (t)\cdot w\,$

eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$

 

???: Differentialgleichung höherer Ordnung und Systeme

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion.

Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

$y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}$

über die Beziehung

${}v_{i}:=y^{(i)}\,$

äquivalent zum Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$

 

???: Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungssysteme in Dreiecksgestalt

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit stetigen Funktionen ${}a_{ij}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}z_{i}\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und den Anfangsbedingungen

$v_{i}(t_{0})=w_{i}\in \mathbb {R} {\text{ für }}i=1,\ldots ,n\,\,(t_{0}\in I)$

vor.

Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich

$v_{n}'=a_{nn}(t)v_{n}+z_{n}(t){\text{ mit }}v_{n}(t_{0})=w_{n},$

$v_{n-1}'=a_{n-1\,n-1}(t)v_{n-1}+a_{n-1\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-1}(t){\text{ mit }}v_{n-1}(t_{0})=w_{n-1},$

$v_{n-2}'=a_{n-2\,n-2}(t)v_{n-2}+a_{n-2\,n-1}(t)v_{n-1}(t)+a_{n-2\,n}(t)v_{n}(t)+z_{n-2}(t){\text{ mit }}v_{n-2}(t_{0})=w_{n-2},$

$\vdots$

$v_{1}'=a_{11}(t)v_{1}+a_{12}(t)v_{2}(t)+\cdots +a_{1n}(t)v_{n}(t)+z_{1}(t){\text{ mit }}v_{1}(t_{0})=w_{1},$

löst.

 

???: Lineare Differentialgleichungssysteme unter Basiswechsel

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine invertierbare Matrix und es sei

${}N=BMB^{-1}\,.$

Dann ist

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto v(t),$

genau dann eine Lösung von ${}v'=Mv$, wenn ${}w=Bv$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}w'=Nw$ ist.

 

???: Lineare Differentialgleichungssysteme in oberer Dreiecksgestalt

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )$ derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem

$w'=Nw{\text{ mit }}N=BMB^{-1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form

${}{\begin{pmatrix}w'_{1}\\w'_{2}\\\vdots \\w'_{n-1}\\w_{n}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\0&c_{22}&\cdots &c_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n-1}\\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

(mit ${}c_{ij}\in \mathbb {C}$) ist.

Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen ${}v_{i}(t_{0})=a_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$ gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.

 

???: Lösungsraum im diagonalisierbaren Fall

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix ${}M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$.

Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

${\left\{c_{1}e^{\lambda _{1}t}\cdot u_{1}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\cdot u_{n}\mid c_{i}\in {\mathbb {K} }\right\}},$

wobei ${}\lambda _{i}$ der Eigenwert zu ${}u_{i}$ ist.

 

???: Richtungsableitung und differenzierbare Kurve

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor.

Dann ist ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ genau dann differenzierbar, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um ${}0\in {\mathbb {K} }$ definierte) Kurve

$g\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto g(t)=f(P+tv),$

in ${}0$ differenzierbar ist. In diesem Fall ist

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=g'(0)\,.$

 

???: Satz von Schwarz

Es sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung, so dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind.

Dann gilt

${}D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi \,.$

 

???: Die Kettenregel

Seien ${}V,\,W$ und ${}U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ und ${}D\subseteq W$ offene Mengen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}\varphi$ in ${}P\in G$ und ${}\psi$ in ${}\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist.

Dann ist ${}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

${}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$

 

???: Totales Differential und Richtungsableitungen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, es sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ in jede Richtung ${}v$ differenzierbar, und es gilt

${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$

 

???: Totales Differential und Jacobi-Matrix

Sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine in ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ partiell differenzierbar, und das totale Differential ist bezüglich der Standardbasis durch die Jacobi-Matrix

${\left({\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$

gegeben.

 

???: Stetige partielle Ableitungen und totales Differential

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine Abbildung. Es seien ${}x_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, die Koordinaten von ${}{\mathbb {K} }^{n}$ und ${}P\in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen in einer offenen Umgebung von ${}P$ existieren und in ${}P$ stetig sind.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ (total) differenzierbar.

Ist die Abbildung ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis des ${}{\mathbb {K} }^{m}$ durch die Koordinatenfunktionen ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in ${}P$ durch die Jacobi-Matrix

${\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$

beschrieben.

 

???: Richtungsableitung und Gradient

Sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei ${}G\subseteq V$ offen und sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P\in G$ differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jeden Vektor ${}v\in V$ ist

   ${}\vert {{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}}\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert \,.$

2. Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn ${}v$ linear abhängig zum Gradienten ist.
3. Sei ${}\operatorname {Grad} \,f(P)\neq 0$. Unter allen Vektoren ${}v\in V$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist die Richtungsableitung in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der Norm des Gradienten.

 

???: Niveaumenge und Gradient

Sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P\in G$ differenzierbare Funktion. Es sei

$h\colon I\longrightarrow G$

eine differenzierbare Kurve mit ${}h(0)=P$, die ganz innerhalb einer Niveaumenge von ${}f$ verläuft.

Dann steht der Gradient zu ${}f$ senkrecht auf ${}h'(0)$.

 

???: Notwendiges Kriterium für Extrema

Sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt ${}P\in G$ ein lokales Extremum besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist, so ist

   ${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0\,.$

2. Wenn ${}f$ in ${}P$ total differenzierbar ist, so verschwindet das totale Differential, also

   ${}\left(Df\right)_{P}=0\,.$

 

???: Trägheitssatz von Sylvester

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$.

Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.

 

???: Minorenkriterium für Definitheit

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien ${}D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

$M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle ${}D_{k}$ positiv sind.
2. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge ${}D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.

 

???: Taylor-Formel

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal

stetig differenzierbare Funktion, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}\epsilon >0$ derart, dass ${}U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq G$ ist.

Dann gilt für alle ${}v$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\epsilon \right)}$ die Beziehung

${}f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$

wobei

${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0\,$

ist.

 

???: Offenheit der positiven Definitheit

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt, in dem die Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv (negativ) definit sei.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq G$, derart, dass die Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ in jedem Punkt ${}Q\in U$ positiv (negativ) definit ist.

 

???: Definitheit und Extrema

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}P\in G$ mit ${}\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Maximum in ${}P$.
2. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Minimum in ${}P$.
3. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt ${}f$ in ${}P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

 

???: Totales Differential der Umkehrabbildung

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen und sei

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}\subseteq V_{2}$

eine bijektive differenzierbare Abbildung. Sei ${}P\in U_{1}$. Das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}$

sei bijektiv und die Umkehrabbildung

$\psi \colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

sei stetig in ${}Q=\varphi (P)$.

Dann ist die Umkehrabbildung differenzierbar in ${}Q$ und für ihre Ableitung gilt

${}\left(D\psi \right)_{Q}=(\left(D\varphi \right)_{P})^{-1}\,.$

 

???: Der Satz über die Umkehrabbildung

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V_{1}$ offen und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge ${}U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ mit ${}P\in U_{1}$ und mit ${}\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

 

???: Mittelwertabschätzung

Seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume, ${}G\subseteq V$ sei offen und enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsstrecke. Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine differenzierbare Abbildung und es gelte

${}\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq b\,$

für alle ${}P\in G$.

Dann gilt für ${}P,Q\in G$ die Abschätzung

${}\Vert {\varphi (Q)-\varphi (P)}\Vert \leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b\,.$

 

???: Der Satz über implizite Abbildungen

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ und es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

 

???: Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}M=f^{-1}(b)$ die Faser von ${}f$ über ${}b\in \mathbb {R} ^{m}$. Es sei

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion ${}h{|}_{M}$ besitze im Punkt ${}a\in M$ ein lokales Extremum auf ${}M$ und ${}a$ sei ein regulärer Punkt von ${}f$.

Dann ist

${}T_{a}M\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,,$

d.h. die Linearform ${}\left(Dh\right)_{a}$ verschwindet auf dem Tangentialraum an der Faser von ${}f$ durch ${}a$.

Die Linearform ${}\left(Dh\right)_{a}$ ist eine Linearkombination aus den Linearformen

$\left(Df_{1}\right)_{a},\ldots ,\left(Df_{m}\right)_{a}.$

 

???: Notwendiges Kriterium für die Existenz eines Extremums auf einer Hyperfläche

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und seien

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen. Es sei ${}b\in \mathbb {R}$ und ${}M=f^{-1}(b)$ die Faser von ${}f$ über ${}b$. Die eingeschränkte Funktion ${}h{|}_{M}$ besitze im Punkt ${}a\in M$ ein lokales Extremum auf ${}M$ und ${}a$ sei ein regulärer Punkt von ${}f$.

Dann ist ${}\left(Dh\right)_{a}$ ein Vielfaches von ${}\left(Df\right)_{a}$, d.h. es gibt ein ${}\lambda \in \mathbb {R}$ mit

${}\left(Dh\right)_{a}=\lambda \left(Df\right)_{a}\,.$

 

???: Satz über die injektive Abbildung

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv sei.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq G$, derart, dass ${}\varphi {|}_{U}$ injektiv ist.

 

???: Partiell differenzierbare Vektorfelder und Lipschitz-stetig

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$

ein Vektorfeld auf ${}U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach ${}v_{j}$ existieren und stetig sind.

Dann genügt ${}f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.

 

???: Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge

Es seien ${}L$ und ${}M$

metrische Räume und es sei

$f_{n}\colon L\longrightarrow M$

eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung ${}f$ konvergiert.

Dann ist ${}f$ stetig.

 

???: Vollständigkeit von Abbildungsräumen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ eine kompakte Teilmenge, es sei ${}E$ ein euklidischer Vektorraum und es sei

$C=C(T,E)$

der Vektorraum der stetigen Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$.

Dann ist ${}C$, versehen mit der Maximumsnorm, ein vollständiger metrischer Raum.

 

???: Differentialgleichung und Integralgleichung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben.

Dann ist eine stetige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow U,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall ${}J\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems  (insbesondere muss ${}v$ differenzierbar sein)

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ die Integralgleichung

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds\,$

erfüllt.

 

???: Der Satz von Picard-Lindelöf

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.

Dann gibt es zu jedem ${}(t_{0},w)\in I\times U$ ein offenes Intervall ${}J$ mit ${}t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

existiert.

 

???: Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}G$ ist ein Gradientenfeld.
2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

 

???: Charakterisierung von Gradientenfeldern (sternförmige Menge)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige offene Teilmenge und

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}G$ ist ein Gradientenfeld.
2. ${}G$ erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.