Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T6/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 4 4 2 4 4 2 6 5 2 5 2 1 5 4 4 7 3 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Grenzwert einer Funktion

    für .

  2. Eine Isometrie

    zwischen euklidischen Vektorräumen.

  3. Die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum .
  4. Ein wegzusammenhängender metrischer Raum .
  5. Die Länge eines Streckenzugs

    mit .

  6. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
  7. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  8. Eine Bilinearform auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über zusammenhängende Teilmengen in .
  2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  3. Die Formel für die Länge einer Kurve
  4. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten im die offenen Bälle und . Man gebe für jeden Punkt

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt an, der ganz innerhalb von liegt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn in jeder offenen Menge mit alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.


Aufgabe * (6 (1+5) Punkte)

Es sei ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit endlichem , dass der Fixpunkt von weder mit dem Fixpunkt zu noch mit dem Fixpunkt zu übereinstimmen muss.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass auch wegzusammenhängend ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale

b) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Vektorfeld der Form

mit einer stetigen Funktion

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

Zeige, dass

eine Lösung der Differentialgleichung

ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

zum Vektorfeld

Zeige, dass auch

zu jedem eine Lösung ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Es sei

eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige, dass die beiden Funktionen und auf (dem Bild) der Lösung konstant sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.


Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Was ist der Definitionsbereich dieser Abbildung?
  2. Berechne die Jacobi-Matrix von in jedem Punkt .
  3. Ist die Funktion total differenzierbar?


Aufgabe * (7 (2+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

a) Zeige, dass stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion