Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 4 4 2 5 2 3 2 3 2 5 1 2 3 2 4 3 4 6 2 3 62



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  2. Eine rationale Zahl.
  3. Eine surjektive Abbildung
  4. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  5. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  6. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  7. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  8. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  3. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  4. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Mengen und und Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien und nichtleere Mengen und

Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also

a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?


Aufgabe * (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Funktion


Aufgabe * (2 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.

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