Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 4 4 2 5 2 3 2 3 2 5 1 2 3 2 4 3 4 6 2 3 62



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  2. Eine rationale Zahl.
  3. Eine surjektive Abbildung
  4. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  5. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  6. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  7. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  8. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).

Lösung

  1. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  2. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

    wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.

  3. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  4. Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .
  5. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
    gibt.
  6. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  7. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.

  8. Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  3. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  4. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.

Lösung

  1. Für in einem Körper gilt
  2. Jede nichtleere [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|nach oben beschränkte]] Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in .
  3. Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Dann besteht der Durchschnitt
    aus genau einem Punkt .
  4. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|beschränkte]] Folge von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]]. Dann besitzt die Folge eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|konvergente]] Teilfolge.


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Mengen und und Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge die Beziehung

gilt.

Lösung

Sei fixiert. Es sei . Das bedeutet

und das bedeutet

also

Wenn umgekehrt

ist, so bedeutet dies

Also ist

und damit


 

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien und nichtleere Mengen und

Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also

a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

Lösung

a) Seien alle surjektiv und sei . Zu jedem gibt es ein mit . Daher ist ein Urbild von unter .

Sei umgekehrt surjektiv, und sei gegeben. Da die alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein . Wir setzen

Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild . Für die -te Komponente davon muss gelten.

b) Sei , sei die leere Abbildung und seien und irgendwelche (nichtleere) Mengen und sei eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist und und daher ist die Produktabbildung ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle surjektiv sind.


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Lösung

Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen bewiesen, die von den natürlichen Zahlen abhängen. Man beweist zuerst die Aussage . Ferner zeigt man, dass man für alle aus der Gültigkeit von auf die Gültigkeit von schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von für alle .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.

Lösung

Für ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein schon bewiesen ist und haben sie für zu zeigen. Dies ergibt sich aus

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung und in der fünften Zeile die binomische Formel angewendet haben.


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn

gilt.

Lösung

Wegen ist nach Aufgabe 4.10 auch . Aus folgt daher durch Multiplikation mit die Beziehung . Wenn umgekehrt gilt, so folgt durch Multiplikation mit die Beziehung .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?

Lösung

Das Pickelpaar und die drei übrigen einzelnen Pickel können als vier Pickelfelder betrachtet werden, die in beliebiger Reihenfolge beackert werden könnnen. Dafür gibt es Möglichkeiten. Bei jeder dieser Reihenfolge hat man beim Pickelpaar die freie Wahlmöglichkeit, welcher zuerst drankommt. Daher gibt es insgesamt

Möglichkeiten.


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Lösung

Wir vergleichen die Strecken, die die beiden Fahrer pro Minute zurücklegen. Für Fahrer ist dies (in Zentimetern)

für Fahrer , der Pedalumdrehungen pro Minute macht, ist dies

Der Quotient ist

Also fährt schneller als .


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.

Lösung

Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


 

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Funktion

Lösung

Skizze/-Betrag-x/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?

Lösung

Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

und mit BC50 hat man die Kosten

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

also

Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?

Lösung

Die Zahl erfüllt die Abschätzungen

Daher liegt im halboffenen Intervall . Die Dezimalentwicklung von beginnt also entweder mit oder mit , wobei die folgende Ziffer oder ist. Über die weiteren Ziffern kann man keine Aussage machen.


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.

Lösung

Wir messen die Zeit in Minuten nach Uhr. Der Eintauchzeitpunkt ist eine Zahl , der rechte Rand ist nicht möglich, da die Uhr dann schon anzeigen würde. Der zweite Moment wird durch beschrieben. Es ist also

und

wobei die Abschätzungen optimal sind. Die Differenz ist nach unten durch

beschränkt. Da diese Abschätzung optimal ist, folgt, dass das Infimum gleich ist und dass das Minimum nicht existiert. Die Differenz ist nach oben durch

beschränkt. Das Supremum ist also und das Maximum existiert nicht.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.

Lösung

Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 5.9 insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Für kann man die Folge (durch Erweiterung mit ) als

schreiben. Folgen vom Typ und sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen , so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen konvergiert.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Lösung

Es sei , , eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert . Wir behaupten, dass die Folge ebenfalls gegen konvergiert. Sei dazu vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Da eine Cauchy-Folge vorliegt gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Daher gilt für unter Verwendung eines mit die Abschätzung


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Lösung

Die Folge sei durch

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist . Sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

mit . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl .


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.

Lösung

Es ist

Der Betrag ist


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.

Lösung

Sei vorgegeben. Es ist

so dass es genügt, die Aussage für reelles , , zu zeigen. Es ist

wir schreiben mit . Aufgrund des Archimedes-Prinzips gibt es ein derart, dass

ist. Nach der Bernoullischen Ungleichung gilt somit für die Abschätzung

Also ist

für .


 

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